Elementi di Matematica: Funzioni - parte prima

Le funzioni si possono combinare sia utilizzando le operazioni aritmetiche fra numeri reali, sia introducendo nuove operazioni come la composizione e l'inversione.

Prima di definire la divisione di funzioni, è utile definire il concetto di preimmagine. Sia \(f: \mathcal{D}_f \longrightarrow \mathbb{R}\) con codominio \(\mathcal{C}_f\), e \(K\subseteq \mathcal{C}_f\). Allora la preimmagine di \(K\), denotata con \(f^{-1}(K)\subseteq \mathcal{D}_f\), è il sottoinsieme del dominio che ha come punti di arrivo gli elementi di \(K\): \[ f^{-1}(K)=\{x\in \mathbb{R}\;,\; (\exists y\in K)\; y=f(x)\}\; . \] Ricordiamo anche che dato un insieme \(S\subseteq T\), denotiamo con \(S^{\rm c}\) il suo complementare in \(T\), ovvero \(S^{\rm c}= T\smallsetminus S\).

Passiamo ora a definire le due operazioni caratteristiche delle funzioni: la composizione e l'inversione.

La composizione di funzioni è associativa, ovvero \(f \circ (g \circ h)= (f \circ g) \circ h\). Due funzioni \(f,g\) commutano se \(f \circ g = g \circ f\). La composizione di funzioni iniettive è sempre iniettiva. La composizione di funzioni suriettive \(f: \mathbb{R}\underset{\mathrm{su}}{\longrightarrow} \mathbb{R}\) e \(g: \mathbb{R} \underset{\mathrm{su}}{\longrightarrow}\mathbb{R}\) è suriettiva. Ne consegue che la composizione di funzioni biettive definite su tutto \(\mathbb{R}\) è ancora biettiva.

Le operazioni di composizione e inversione sono collegate nel modo seguente.

Consideriamo una funzione a valori reali \(f:\mathcal{D}_f\longrightarrow \mathbb{R}\). Essa si dice limitata se il suo codominio \(\mathcal{C}_f\) è contenuto in un intervallo limitato di \(\mathbb{R}\), ovvero se esiste \(M > 0\) tale che per ogni \(x\in \mathcal{D}_f\), \[ \lvert f(x) \rvert_{}^{} \leq M\; . \]

Le funzioni limitate chiaramente non sono suriettive su \(\mathbb{R}\), in quanto il loro codominio è limitato e quindi strettamente incluso nella retta reale. Una funzione \(f\) tale che esiste \(M > 0\) tale che per ogni \(x\in \mathcal{D}_f\), \[f(x)\leq M\] si dice limitata superiormente, o limitata dall'alto, e non è necessariamente limitata. Analogamente, una funzione \(f\) per cui esiste \(M > 0\) tale che per ogni \(x\in \mathcal{D}_f\), \[ f(x)\geq -M\] si dice limitata inferiormente, o limitata dal basso.

Veniamo ora al concetto di monotonia. Una funzione si dice monotona se, intuitivamente, essa o al più cresce o al più decresce sempre al muoversi da sinistra a destra nel suo dominio (visto come sottoinsieme della retta reale).

Più precisamente, sia \(f:\mathcal{D}_f \longrightarrow \mathbb{R}\) una funzione. Allora \(f\) è crescente (decrescente) se e solo se per ogni \(x \leq y\), \(x,y\in \mathcal{D}_f\), si ha che \[ f(x)\leq f(y) \; (f(x)\geq f(y))\; .\]

La funzione \(f\) si dice invece strettamente crescente (decrescente) se e solo se per ogni \(x < y\), \(x,y\in \mathcal{D}_f\), \[ f(x) < f(y) \; (f(x) > f(y))\; .\]

Le funzioni strettamente monotone sono sempre iniettive, mentre esistono funzioni monotone che non sono iniettive (ad esempio la funzione costante).

Il concetto di convergenza e limite che abbiamo introdotto per le successioni può essere esteso alle funzioni, tenendo in considerazione il fatto che, come abbiamo discusso, le successioni sono un esempio speciale di funzioni dai numeri naturali a quelli reali.

L'idea è quella di descrivere il comportamento di una funzione quando il suo argomento si avvicina sempre più ad un argomento fissato.

Preliminarmente, definiamo la chiusura \(\overline{D}\) di un insieme \(D\subseteq \mathbb{R}\) come segue: \[\overline{D}=\Bigl\{x\in \mathbb{R}\,,\, \exists (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq D\,,\, \lim_{n\to \infty}x_n=x\Bigr\}\]

Analogamente, si ha convergenza della funzione se ogni successione, ottenuta applicando \(f\) ad una successione \(x_n \to x_0\), converge ad \(\ell\).

La definizione di limite di funzione si può estendere, come per le successioni, sia al caso in cui \(\ell = \pm \infty\), che al caso in cui \(x_0= \pm \infty\), che infine al caso in cui sia \(\ell\) che \(x_0\) siano entrambi \(\pm \infty\). Ciò non presenta particolari difficoltà, ed è lasciato come esercizio per il lettore.

Come per i limiti di successioni, anche i limiti di funzioni si possono combinare algebricamente fra loro, e come per le successioni il risultato della combinazione è la combinazione dei limiti, a meno che ciò non risulti in una forma indeterminata. Ricordiamo che le sette forme indeterminate sono:

\(\phantom{i}\)

• \[\boxed{\frac{0}{0}}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{\frac{\pm \infty}{\pm \infty}}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{0 * (\pm \infty)}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{+\infty -\infty}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{0^0}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{1^{\pm \infty}}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{(\pm\infty)^0}\] \(\phantom{i}\)

\(\phantom{i}\)

Strettamente collegato al concetto di limite di una funzione vi è quello di continuità. La continuità è, come il limite, innanzitutto un concetto locale, che può essere poi esteso a tutta la funzione se vero in ogni punto.

Una funzione si dice continua in un punto del suo dominio se avvicinandosi a tale punto in qualsiasi modo possibile, allora il valore della funzione si avvicina sempre di più al suo valore nel punto considerato.

Una funzione si dice continua se è continua in ogni punto del suo dominio.

Una funzione si dice discontinua nel punto \(x_0\) se essa non è continua in tale punto.