AM430: Topics in Ordinary Differential Equations
Programma di Massima: Teoremi di esistenza ed unicita' locali,
tempi di esistenza e prolungamenti. Dipendenza dai dati iniziali.
Teorema di rettificazione. Comportamento dei sistemi lineari a
coefficienti costanti. Forma canonica di Jordan.
Funzioni differenziabilisu uno spaziodi Banach. Il Teorema della
Funzione Implicita. Applicazioni alla ricerca di asoluzioni periodiche.
Decomposizione di Lyapuno Schmidt. Dipendenza daIDATI INIZIALI. Il
teorema della scatola di flusso. Cambiamentidi coordinate
generati dal flusso di un campo vettoriale. L'esponenziale di Lie.
ics
Suggested textbooks
Coddington-Levinson Theory of differential equations (McGraw-Hill)
Amann: Ordinary Differential Equations, an introduction to Non Linear Analysis
Tao: Nonlinear Dispersive equations (Chapter one) pdf
Hirsch-Smale: Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra
Appunti, Esercizi
ics
20/9 Definizione di ODE, sistemi dinamici autonomi, traiettorie
ed orbite. Equazioni differenziali in forma normale.
Intervallo massimale di esistenza e unicita. Esempi ed esercizi.
22/9 Teorema di esistenza e unicita’. Esercizi.
27/9. proprieta’ delle orbite. Fuga dai compatti e intervallo di esistenza.
29/9. Lemmi di Gronwall. Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali. Esercizi.
4/10 Teoremi del confronto ed intervalli di esistenza
6/10. Esercizi. Stime dall’-alto e dal basso per gli intervalli di esistenza
11/10 I sistemi lineari. Esistenza globale e struttura delle soluzioni. Esponenziale di Matrice
13/10 Caso diagonalizzabile, Caso nilpotente. Esponenziale della somma di due matrici che commutano.
18/10 Sistemi non a coefficienti costanti. La matrice fondamentale, la formula di variazione di costanti.
20/10 L’esponenziale di Lie e la coniugazione. La forma canonica di Jordan.
25/10 Ancora sulla forma canonica di Jordan
27/10 esercizi su ODE lineari, ricerca di soluzioni speciali (metodo simpatia)
3/11. Funzioni differenziabili su uno spazio di Banach, il Teorema della Funzione Implicita.
15/11 Applicazione del TFI per determinare le soluzioni periodiche, caso non degenere.
17/11 Ricerca di soluzioni periodiche metodi perturbativi tramite I diagrammi.
22/11 Decomposizione di Lyapunov Schmidt. Biforcazione con nucleo di dimensione 1.
24/11 L’equazione di Van der Pol e il teorema di Hopf
29/11. Dipendenza C^1 dai dati iniziali. Il teorema della Scatola di Flusso
1/12. Ancora sul teorema della Scatola di Flusso, I diffeomorfismi
generati dal flusso di un campo vettoriale. Pullback di un campo
vettoriale. Commutatore di due c.v.. La formula dell’esponenziale di
Lie.
6/12. Variet a’differenziali, cambiamentidi coordinate. Pullback
di una uno forma.Campi vettoriali come derivazioni. I campi vettoriali
omogenei. Definizione di scaling . Proprieta'rispetto alcommutatore.
13/12. L’algebra di Lie dei c.v. polinomiali. La forma normale diPoincare’formale.
15/12 Struttura di spazio normato dei c.v. polinomiali. I campi
vettoriali analitici in un intorno di zero. I campi vettoriali come
generatori di flussi. Principali teoremi sulla struttura dell’algebra
di Lie dei c.v. analitici.
20/12 Ancora sulla dimostrazione dei teoremi di struttura
(dimostrazione della formula del push-forward di un campo vettoriale
rispetto al flusso di un altro.
22/12. Condizioni di non-risonanza a ordine N. Forma normale di
Poincare’ sotto condizioni di non-risonanza come applicazione del
Teorema della Funzione Implicita.
4/1 (online) Forma normale di Poincare nel caso risonante. Alcuni esempi.
7/1 Teorema di Linearizzabilita’ di Poincare’ (dimostrazione tramite uno schema KAM).
Modalita` di esame:
L’esame consiste di tre parti:
Esercizi (ho fatto un file con una raccolta degli esercizi svolti in classe)
Se li fate da soli sceglietene qualcuno (4-5) fra I piu’ significativi
e proponetemeli prima di svolgerli. Se fate in tutti in collaborazione
(cioe’ ve li dividete autonomamente) portatemeli piu’ o meno
tutti (e sceglietene qualcuno fra I piu’ significativi da discutere ).
Se vi dividete in gruppetti sceglietene piu’ o meno 4 a
testa (cercando di variare sia sugli argomenti che sul livello di
difficolta’)
Argomenti a scelta.
Scegliete uno (o due dipende da quanto sono vasti) argomenti che volete
approfondire. Se preferite potete anche portarmi una tesina scritta,
altrimenti me la esponete.
Orale.
mi aspetto che voi sappiate la prima parte: Teoremi di esistenza
e unicita’, Lemma di Gronwall, sistemi lineari, Esponenziali di
matrici, forma canonica di Jordan (quel che abbiamo fatto), incluse le
dimostrazioni.
Della seconda parte dovete sapere la struttura generale e TUTTE le
definizioni. Per quel che riguarda le dimostrazioni dipende dalla
vostra tesina,, tutti pero devono sapere: Dipendenza C^1 dai dati
iniziali e scatola di flusso.