AM430: Topics in Ordinary Differential Equations


Programma di Massima:  Teoremi di esistenza ed unicita' locali, tempi di esistenza e prolungamenti. Dipendenza dai dati iniziali. Teorema di rettificazione. Comportamento dei sistemi lineari a  coefficienti costanti. Forma canonica di Jordan.
Funzioni differenziabilisu uno spaziodi Banach. Il Teorema della Funzione Implicita. Applicazioni alla ricerca di asoluzioni periodiche. Decomposizione di Lyapuno Schmidt. Dipendenza daIDATI INIZIALI. Il teorema della scatola di flusso.  Cambiamentidi coordinate generati dal flusso di un campo vettoriale. L'esponenziale di Lie.
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Suggested textbooks

Coddington-Levinson Theory of differential equations (McGraw-Hill)
Amann: Ordinary Differential Equations, an introduction to Non Linear Analysis
Tao: Nonlinear Dispersive equations (Chapter one) pdf
Hirsch-Smale: Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra

Appunti, Esercizi
ics
20/9  Definizione di ODE, sistemi dinamici autonomi, traiettorie ed orbite. Equazioni differenziali in forma normale.  Intervallo  massimale di esistenza e unicita. Esempi ed esercizi.

22/9 Teorema di esistenza e unicita’.  Esercizi.

27/9.  proprieta’ delle orbite.  Fuga dai compatti e intervallo di esistenza.

29/9. Lemmi di Gronwall. Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.  Esercizi.

4/10 Teoremi del confronto ed intervalli di esistenza

6/10. Esercizi. Stime dall’-alto e dal basso per gli intervalli di esistenza

11/10 I sistemi lineari. Esistenza globale e struttura delle soluzioni. Esponenziale di Matrice

13/10 Caso diagonalizzabile, Caso nilpotente. Esponenziale della somma di due matrici che commutano.

18/10 Sistemi non a coefficienti costanti. La matrice fondamentale, la formula di variazione di costanti.

20/10 L’esponenziale di Lie e la coniugazione. La forma canonica di Jordan.

25/10 Ancora sulla forma canonica di Jordan

27/10 esercizi su ODE lineari, ricerca di soluzioni speciali (metodo simpatia)

3/11. Funzioni differenziabili su uno spazio di Banach, il Teorema della Funzione Implicita.

15/11 Applicazione del TFI per determinare le soluzioni periodiche, caso non degenere.

17/11 Ricerca di soluzioni periodiche metodi perturbativi tramite I diagrammi.

22/11 Decomposizione di Lyapunov Schmidt. Biforcazione con nucleo di dimensione 1.

24/11 L’equazione di Van der Pol e il teorema di Hopf

29/11. Dipendenza C^1 dai dati iniziali. Il teorema della Scatola di Flusso

1/12. Ancora sul teorema della Scatola di Flusso, I diffeomorfismi generati dal flusso di un campo vettoriale.  Pullback di un campo vettoriale. Commutatore di due c.v.. La formula dell’esponenziale di Lie.

6/12.  Variet a’differenziali, cambiamentidi coordinate. Pullback di una uno forma.Campi vettoriali come derivazioni. I campi vettoriali omogenei. Definizione di scaling . Proprieta'rispetto alcommutatore.

13/12.  L’algebra di Lie dei  c.v. polinomiali. La forma normale diPoincare’formale.

15/12  Struttura di spazio normato dei c.v. polinomiali. I campi vettoriali analitici in un intorno di zero. I campi vettoriali come generatori di flussi. Principali teoremi sulla struttura dell’algebra di Lie dei c.v. analitici.

 

20/12  Ancora sulla dimostrazione dei teoremi di struttura (dimostrazione della formula del push-forward di un campo vettoriale rispetto al flusso di un altro.

22/12. Condizioni di non-risonanza a ordine N. Forma normale di Poincare’ sotto condizioni di non-risonanza come applicazione del Teorema della Funzione Implicita.

 

4/1 (online) Forma normale di Poincare nel caso risonante. Alcuni esempi.

7/1 Teorema di Linearizzabilita’ di Poincare’ (dimostrazione tramite uno schema KAM).

 
Modalita` di esame:

 L’esame consiste di tre parti:

Esercizi (ho fatto un file con una raccolta degli esercizi svolti in classe) 

Se li fate da soli sceglietene qualcuno (4-5) fra I piu’ significativi e proponetemeli prima di svolgerli. Se fate in tutti in collaborazione (cioe’ ve li dividete autonomamente) portatemeli  piu’ o meno tutti (e sceglietene qualcuno fra I piu’ significativi da discutere ). Se vi dividete in gruppetti   sceglietene piu’ o meno 4 a testa (cercando di variare sia sugli argomenti che sul livello di difficolta’)

Argomenti a scelta.

Scegliete uno (o due dipende da quanto sono vasti) argomenti che volete approfondire. Se preferite potete anche portarmi una tesina scritta, altrimenti me la esponete.

Orale.

 mi aspetto che voi sappiate la prima parte: Teoremi di esistenza e unicita’, Lemma di Gronwall, sistemi lineari, Esponenziali di matrici, forma canonica di Jordan (quel che abbiamo fatto), incluse le dimostrazioni. 

Della seconda parte dovete sapere la struttura generale e TUTTE le definizioni. Per quel che riguarda le dimostrazioni dipende dalla vostra tesina,, tutti pero devono sapere:  Dipendenza C^1 dai dati iniziali e scatola di flusso.