- Assiomatica di R: Gli insiemi N, Z, Q ed R. Operazioni e proprietà. Maggioranti e minoranti di un sottoinsieme non vuoto di R. Esempi: A= {1/n, n=1,2,3,4…}, A= [0,1). Definizione di intervallo di R. Proprietà di densità di Q ed R. Sottoinsiemi superiormente (o inferiormente) limitati. Estremo superiore/inferiore di un sottoinsieme non vuoto di R. Teorema di completezza. Definizione di max/min e paragone con sup ed inf. Ex A=[0,1], A’=[0,1). Dimostrazione che 1 è sup di A’. Valore assoluto di un numero reale e proprietà. Esempi grafici. Una nota utile: simbologia_logica_insiemi
- Funzioni reali: definizione. Dominio e insieme di arrivo. Immagine di una funzione. Immagine e pre-Immagine di un sottoinsieme di R, grafico di f e sua lettura (Esempi).
Funzioni iniettive. Funzioni suriettive. Composizione di funzioni. Vedere una funzione come composizione di due o più funzioni. Esempi e controesempi (Cf. matematica assistita Teoria 1A e 1B)
Traslazioni e Simmetrie. Funzioni pari e dispari. Esempi grafici: partire dal grafico di f(x) e saper tracciare quello di: f(x) + c, f(x + c), per c reale, f(|x|), |f(x)|. Disequazioni ed equazioni risolvibili graficamente.
– Funzione inversa, definizione. Il grafico dell’inversa e relazione tra i punti appartenenti a G(f) e G(f^-1). Monotonia (composizione di funzioni monotone con dimostrazione). Legame con l’iniettività. Monotonia implica iniettività ma non vale il viceversa in generale (esempi). Convessità, definizioni e interpretazione geometrica, funzioni limitate, max/min globali (o assoluti) e locali (o relativi), inf/sup di f(x)
– Funzioni Elementari e loro grafici: potenze, radici, esponenziali e logaritmi con relative proprietà. La funzione modulo e parte intera [x], la funzione segno : sgn(x). Funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse, periodicità e grafici. - Successioni, prime definizioni. Successioni maggiorate/minorate, limitate, monotone. Proprietà valide definitivamente. Esempi. Definizione di limite. Successioni convergenti e divergenti: definizioni. Esempi: (-1)^n è irregolare, non ha limite ma ammette due sottosuccessioni convergenti. Ogni successione che ammette limite è limitata, con dim.
Teoremi del confronto (dei carabinieri) con dimostrazione e conseguenze . Esempi di applicazione. a_n –>0 sse |a_n| –> 0 e a_n —> L sse a_n – L —> 0. Esempi con dimostrazione di successioni divergente a_n = (n – 5)^1/2 e convergenti a_n= 1/n. Teorema di Bolzano-Weierstrass e teorema su limite di sottosuccessioni di una successione convergente (senza dimostrazione). Conseguenza: Mostrare che una successione non ha limite esibendo due sottosuccessioni che tendono a limiti diversi. Limiti di successioni monotone. Limiti di successioni “elementari”: n^b , a^n, log_a n, al variare di a, b
Teoremi di permanenza del segno con dimostrazione, esempi della non possibilità di restringere le ipotesi <= con <. Operazioni con i limiti e algebra in R u {+,- infinito}. - Successioni asintoticamente equivalenti, definizione ed esempi. La relazione di asintotico è una relazione di equivalenza. Successioni asintotiche hanno lo stesso limite, se esiste (con dim). La relazione funziona bene con prodotti, rapporti e potenze ma non con somme e differenze (controesempi).
Limiti notevoli e legame con la definizione di asintotico, dimostrazione di sin(a_n)/a_n –> 1 se a_n è infinitesima. Gerarchie di infinito. Dimostrazione che log(an) asintotico a log(bn) se an e bn —> +infinito e an equivalente a bn. Dim che sin(a_n) asintotico a sin(b_n) se a_n e b_n sono infinitesime e asintotiche.
Definizione di o-piccolo. - Intorni e punti di accumulazione. Intorni bucati, intorni destri e sinistri. Proprietà valide definitivamente per x–> p. Definizioni equivalenti di limite: tramite successione, tramite intorni e tramite “epsilon e delta”. Esempi. Esplicitare tramite le definizioni cosa significa che \lim_x–>x_0 f(x) = M nei vari casi. Disegnare funzioni che soddisfano limiti dati. Limiti di funzioni, esempi di funzioni che non hanno limite in un punto (sgn(x), 1/x). Dimostrazione che sin(x) e cos(x) non hanno limite per x–> infinito. Dimostrazione che sin(1/x) non ha limite per x—>0.
– Teoremi del confronto, limiti di funzioni elementari, funzioni asintoticamente equivalenti, o-piccolo, limiti di funzioni composte, operazioni con i limiti. Limiti di funzioni monotone.
Esempio di composizione di funzioni f e g in cui non vale l’uguaglianza tra limite della composta e composizione dei limiti. - Funzioni continue, definizione. Classificazioni discontinuità con esempi. Esempi di funzioni continue e discontinue. Le funzioni elementari sono continue sul loro insieme di definizione. Prolungamento per continuità/Estensione continua di una funzione a punti non appartenenti al dominio.
Teoremi sulle funzioni continue: Teorema degli zeri: Esempi e conseguenze: Ogni polinomio di grado dispari si annulla, in R, almeno una volta (con dim). Ogni numero reale>0 ammette almeno una radice n-esima positiva. il metodo di bisezione per approssimare lo zero di una funzione. Il teorema di permanenza del segno (con dim) e dei valori intermedi (con dim): il teorema di Darboux. Esempi e contro esempi sulla necessità delle ipotesi.
Il teorema di Weierstrass. Altre versioni del teorema di Darboux. Teorema su funzioni continue e strettamente monotone. Se f è continua allora f è iniettiva sse strettamente monotona. Funzioni continue e strettamente monotone hanno inversa continua e strettamente monotona. Continuità dell’inversa. - Derivabilità, definizione e prime proprietà. Esempi. Significato geometrico della derivata in un punto. Esempi di funzioni non derivabili in un punto (usando la definizione). Derivabilità delle funzioni elementari con dimostrazioni. Teorema derivabilità implica continuità con dim. Non vale il viceversa: esempi. Derivate composte con dim, derivata dell’inversa, teorema e idea della dimostrazione tramite la derivata della composta f (f^-1(x) ) = x. Regole di derivazione. Come ricavare le derivate dell’arcoseno, arcseno e arcotangente tramite la derivata dell’inversa. Esercizi e significati geometrici dei teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e conseguenze. Non vale il viceversa di Fermat: esempi vari, |x| e x^3.
Dimostrazione dei teoremi di Rolle, Lagrange. Caratterizzazizone delle funzioni costanti (costante su [a,b] sse derivabile e derivata ovunque nulla). Caratterizzazione della monotonia e stretta monotonia, e convessità tramite derivate, esempi. Studio del punto critico di una funzione con derivata seconda continua, tramite segno della derivata seconda. Regola di de l’Hopital, esempi di applicazione e controiesempi in cui il metodo non dà informazioni. Criteri sufficienti di derivabilità per funzioni definite a tratti. Criteri di non derivabilità e classificazione dei punti di non derivabilità tramite limite delle derivate. - Derivate di ordine superiore. Classe C^n. Il polinomio di Taylor. Teoremi di Taylor con resto Lagrange e Peano. Significato e relazione con gli asintotici. Funzioni analitiche. Esempio di funzione C^\infinito con polinomio di Taylor identicamente nullo. Polinomio di Taylor e equivalenze asintotiche. Esempi. Caratterizzazione max/min/flessi nell’origine tramite polinomio Taylor centrato in 0. Caratterizzazione delle funzioni pari/dispari tramite il loro sviluppo di Taylor centrato in 0 (sv. di McLaurin).
Algebra degli o-piccoli (operazioni con gli o-piccoli). Esempi di sviluppi di Taylor di funzioni elementari e regola di sostituzione. Ese Assegnato: scrivere lo sviluppo di tan(x) sfruttando quello di sinx e cosx e la disparità di tanx. Svolto poi a esercitazione. - Primitive, definizioni e proprietà. Funzioni che non hanno primitiva. Integrali immediati. Integrazione per parti e per sostituzione (cambio di variabili). Esempi.
-Integrazione delle funzioni razionali
– L’integrale di Riemann, costruzione e proprietà (linearità, monotonia). Relazione con il calcolo delle aree. Linearità e monotonia. Teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni Riemann integrabili e funzioni continue, formule di sostituzione (cambio variabili) e integrazione per parti. Esempi. Teorema della media con dimostrazione. Significato geometrico. Esercizi sull’integrale di Riemann e il calcolo di primitive e applicazione teoremi della media e fondamentale del calcolo. - Introduzione alle equazioni differenziali. definizione e significato. Il caso piu semplice x’ = f(t), legame con il teorema del calcolo integrale. Problema coi dati iniziali: il problema di Cauchy, esistenza e unicità.
– Equazioni differenziali a variabili separabili, costruzione della soluzione. Un esempio di Prob di Cauchy con infinite soluzioni: il “pennello di peano”. Il modello di crescita di una popolazione biologica. - vettori nel piano: grandezze vettoriali ed esempi. Definizione. Vettori di modulo 1: i versori. Rappresentazione nel piano. Somma e differenza di vettori, regola dell parallelogramma. Rappresentazione di un vettore per componenti: il modulo, la somma e differenza, il prodotto per uno scalere. Proiezioni. Vettore come combinazione lineare dei versori fondamentali. Il prodotto di uno scalare per un vettore. Il prodotto scalare tra due vettori e relazione con l’ortogonalità tra due vettori: il prodotto scalare tra due vettori è nullo sse i due vettori sono ortogonali.