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Corso di AM420 - Equazioni alle derivate parziali (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2023-24)

A PARTIRE DA LUNEDÌ 15 NOVEMBRE IL CORSO SARÀ TENUTA DAL PROF. UGO BESSI. LA TERZA LEZIONE SETTIMANALE SI SVOLGERÀ LUNEDÌ IN AULA 57 CON ORARIO 9-11.

Programma di massima (prima metà del corso):

Calcolo in spazi di Banach, derivazione, Teorema della Funzione Implicita;
Coercività, semi-continuità inferiore, esistenza di soluzioni di energia minima;
Vincoli naturali, Varietà di Nehari;
Identità di Pohožaev, non-esistenza di soluzioni;
Deformazioni, condizione di Palais-Smale, soluzioni di tipo min-max, Teorema di passo montano;
Categoria di Lusternik-Schnirelmann, esistenza di infinite soluzioni.

Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezioni 1-2 (22/09/2023): Introduzione al corso; Calcolo in spazi di Banach, differenziabilità secondo Fréchet, gradiente.

Lezioni 3-4 (27/09/2023): Differenziabilità secondo Gâteaux, Teorema del valor medio, Teorema del differenziale totale; funzioni di Carathéodory, operatori di Nemitski.

Lezioni 5-6 (28/09/2023): Richiami su spazi di Sobolev e teoremi di immersione; peratori di Nemitski su spazi di Sobolev; derivate successive.

Lezioni 7-8 (29/09/2023): Lemma di Schwarz; derivate parziali; formula di Taylor; teorema della funzione inversa.

Lezioni 9-10 (04/10/2023): Dimostrazione del teorema della funzione inversa, applicazioni a equazioni differenziali.

Lezioni 11-12 (05/10/2023): Teorema della funzione inversa, applicazioni a equazioni differenziali; metodi variazionali, teorema di Tonelli, applicazioni.

Lezioni 13-14 (06/10/2023): Applicazioni del teorema di Tonelli a equazioni ellittiche; minimi vincolati, sottovarietà di codimensione 1; vincoli naturali, varietà di Nehari.

Lezioni 15-16 (12/10/2023): Applicazioni della varietà di Nehari alla soluzione di equazioni ellittiche; identità di Pohožaev, non esistenza di soluzioni.

Lezioni 17-18 (13/10/2023): Fine della dimostrazione dell'identità di Pohožaev; minimizzazione su varietà di Nehari con nonlinearità generiche; deformazioni, esempi.

Lezioni 19-20 (19/10/2023): Deformazioni, flusso di massima pendenza; campi vettoriali pseudo-gradienti.

Lezioni 21-22 (20/10/2023): Condizione di Palais-Smale; punti critici di tipo min-max; Teorema del passo montano.

Lezioni 23-24 (26/10/2023): Controesempio al Teorema del passo montano, lemma di deformazione, dimostrazione del Teorema del passo montano.

Lezioni 25-26 (27/10/2023): Applicazioni del Teorema del passo montano a equazioni ellittiche; Categoria di Lusternik-Schnirelmann, esempi.

Lezioni 27-28 (02/11/2023): Proprietà della categoria di Lusternik-Schnirelmann, esempi; livelli di min-max costruiti con la categoria.

Lezioni 29-30 (03/11/2023): Teorema di min-max con la categoria, lemma di deformazione, applicazione a equazioni ellittiche.

Orario delle lezioni:

Lunedì ore 9-11, Giovedì ore 11-13, Venerdì ore 9-11, aula 57 (sede di Via della Vasca Navale 84).

Orario di ricevimento:

Studio 0.18 (moduli prefabbricati), Mercoledì ore 14-16 oppure per appuntamento.

Modalità di esame:

Prova orale sotto forma di seminario con domande extra sul programma del corso.

Esami:

Appello A: Lunedì 15 Gennaio 2024, ore 10-13.
Appello B: Lunedì 5 Febbraio 2024, ore 10-13.
Appello C: Lunedì 10 Giugno 2024, ore 10-13.
Appello X: Lunedì 2 Settembre 2024, ore 10-13.

Testi consigliati:

A. Ambrosetti, A. Malchiodi - "Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problem" - Cambridge University Press;
A. Ambrosetti, G. Prodi - "A primer of nonlinear analysis" - Cambridge University Press;
P. Rabinowitz - "Minimax methods in critical point theory with application to differential equations" - American Mathematical Society.