Analisi
Matematica 1- Ingegneria civile/Aeronautica
Docenti: Michela Procesi- Dario Francia
Testi
di riferimento:
"Analisi matematica 1", P. Marcellini, C. Sbordone,
oppure
Analisi Matematica 1 Pagani-Salsa
"Esercitazioni di Matematica: vol. 1.1 e 1.2", P. Marcellini, C.
Sbordone, editore Liguori
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Ricevimento: Mercoledi dalle
15 alle 17 Studio 200 piano 2. Dipartimento di
Matematica e Fisica, Sezione di Matematica
Largo S.L. Murialdo 1. map
Altri testi
"Analisi Matematica 1", E. Giusti, editore Bollati Boringhieri
"Funzioni Algebriche e Trascendenti", B. Palumbo, M.C. Signorino,
editore Accademica
"Analisi Matematica", M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, editore
MCGraw-Hill
"Esercizi di Analisi Matematica", S. Salsa, A. Squellati, editore
Zanichelli
"Esercizi e complementi di Analisi Matematica: vol. 1", E. Giusti,
editore Bollati Boringhieri
"Esercizi svolti di Analisi Matematica e Geometria 1 e 2", G. Catino,
F. Punzo.
Programma sintetico di massima:
Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R,
costruzione di N e principio di induzione, i numeri complessi;
elementi di topologia in R e teorema di Bolzano-Weierstrass; funzioni
reali di variabile reale, limiti di funzione e proprietà, limiti di
successione, limiti notevoli, il numero di Nepero; funzioni continue e
loro proprietà; derivata di funzione e proprietà, i teoremi
fondamentali del calcolo differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy,
Lagrange, de l'Hopital, formula di Taylor), funzioni convesse/concave;
grafico di funzione; integrazione secondo Riemann e proprietà,
integrabilita' delle funzioni continue, teorema fondamentale del
calcolo integrale, integrazione per sostituzione e per parti, regole
di integrazione; serie numeriche, convergenza semplice ed assoluta,
criteri di convergenza per serie a termini positivi e per serie a
termini qualsiasi; sviluppi in serie di Taylor; integrali impropri.
Diario delle lezioni:(appunti e registrazioni sono su teams, ci sono
anche degli appunti nei corsi degli anni precedenti)
Lezione 1. Numeri: Naturali ,Interi,
Razionali. Somma e prodotto. L’assioma di completezza. Irrazionalità di
radice di due .
Lezione 2. Intervalli chiusi ed aperti. La
densità dei razionali in R. Definizione di funzione, esempi. Immagine e
preimmagine di un intervallo.
Lezione 3. Funzioni di variabile reale.
Esempi. Funzioni crescenti. Composizione di funzioni. Funzioni
iniettive. Funzione inversa. Analisi di una funzione a partire dal
grafico.
Lezione 4. Esempi ed esercizi.
Lezione 5. Le funzioni potenza. Grafici di
funzioni lineari e quadratiche.
Lezione 6. Funzioni potenza esponenziali
logaritmi. Esercitazioni (4h) sulle funzioni elementari e disequazioni.
Lezione 7. Funzioni trigonometriche,
definizioni ed esempi.
Lezione 8. I numeri complessi. Proprieta,
rappresentazione polare. Ricerca di radici n-me.
Lezione 9. Principio di induzione.
Diseguaglianza di Bernoulli. Massimi, minimi maggioranti e minoranti di
un insieme. Estremo superiore ed inferiore.
Lezione 10. Esempi di calcolo di estremi
inferiori e superiori. Le successioni numeriche. Il concetto di limite.
Lezione 11. Ancora sui limiti. Operazioni
base ed esempi. Prime forme indeterminate.
Lezione 12. I teoremi del confronto e il
teorema dei carabinieri. Limited i successioni infinitesime per
successioni limitate. Limiti notevoli
Lezione 13. Successioni monotone, numero
di Nepero. Ancora sui limiti notevoli.
Lezione 14. Limiti di funzioni.
Definizione tramite le successioni e teorema ponte. Cambio di variabile
nei limiti. Limiti notevoli, funzioni asintoticamente equivalenti. Il
concetto f(x) = o(g(x)) per x-> x_0.
Lezione 15. Teoremi base sui limiti di
funzioni (teoremi di confronto, teorema dei carabinieri). Ancora sui
limiti notevoli.
Lezione 16. Teoremi sulle funzioni
continue. Teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass. Il
concetto di massimo, minimo , estremo superiore ed inferiore di una
funzione in un intervallo.
Lezione 17. Funzioni continue e iniettive.
Ancora sul teorema di Weierstrass.
Lezione 18. Definizione di derivata.
Significato geometrico.La derivata come approssimazione lineare.
Lezione 19. Derivazione di funzioni
elementari. Derivata di somma prodotto e rapporto. Derivata della
funzione composta.
Lezione 20. Teorema di Fermat, Rolle e
Lagrange. Caratterizzazione delle funzioni monotone. Determinazione
del numero degli zeri di una equazione.
Lezione 21. Studio di funzione, grafici
qualitativi.
Lezioni 22. Ancora studio di funzione.
Lezione 23. Il teorema di de l’Hospital.
Esempi.
Lezione 24. I polinomi di Taylor.
Lezione 25. Ancora sui polinomi di Taylor,
un po di trucchi.
Lezione 26. Sviluppi di Taylor per funzioni
composte. Uso nei limiti.
Lezione 27. Il concetto di primitiva,
caratterizzazione, primitive elementari, integrazione per parti.
Lezione 28. Integrazione per sostituzione.
Lezione 29. Integrali di funzioni
razionali. La sostituzione y= tg(x/2).
Lezione 30. Ancora funzioni razionali,
casi con il denominatore di grado >2.
Lezione 31. La sostituzione di Eulero.
Vari esempi. Calcolo di aree, approssimazioni per eccesso e per difetto.
Insiemi misurabili nel piano.
Lezione 32. Calcolo dell’area sottesa al
grafico di una funzione. Somme superiori ed inferiori, l’integrabilita’
secondo Riemann.
Lezione 33. Definizione di integrale
improprio. Integrabilita’ e integrabilita’ assoluta. Criteri di
confronto e confronto asintotico per funzioni positive.
Lezione 34. Serie numerica, definizione e
prime proprieta’. Condizione necessaria per la convergenza. Parallelo
con gli integrali impropri su [A,infty]. La serie armonica.
Lezione 35. Criteri di convergenza per
serie a termini definitivamente positivi. Criterio del rapporto e della
radice. Criterio del confronto. Criteri di confronto asintotico. Il
criterio del confronto integrale.
Lezione 36. Serie a termini alterni.
Convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz.
Lezione 37. Esercizi sulle serie.
Lezione 38. Esercizi sulle serie e
integrali impropri.
un po di esempi di compiti
1,
2,
3,
4,5
Informazioni
sul colloquio orale:
Faccio 1-2 domande partendo con un esercizio e discutendo
il grafico di una funzione
In ogni caso: bisogna saper fare la derivata du una funzione
composta, dato il grafico di una funzione bisogna saper
riconoscere i punti di massimo e minimo, i limiti , il dominio, gli
zeri della derivata prima, le regioni in cui e' crescente etc... se
non sapete fare queste cose non si va avanti.
Una volta verificate queste cose di base
Se avete fatto degli errori nello scritto e' molto probabile
che vi faccia domande su quegli argomenti, per esempio, se nel primo
esonero avete sbagliato i limiti notevoli, vi potrei chiedere, che
cosa vuol dire che sin(x)~ x per x vicino a zero (se sapete anche la
dimostrazione col teorema dei carabinieri chiaramente ne sono contenta
). Sarebbe anche naturale chiedere cosa e' un limite cioe' cosa vuol
dire (per lo meno tramite una spiegazione grafica) che lim_{x->x0}
f(x)= l.
se volete alzare il voto in prima istanza mi interessa che sappiate
le definizioni (eventualmente a livello intuitivo) delle cose che
abbiamo discusso, con un po di motivazioni ed esempi...
domande tipiche :
Enunciare il teorema del confronto e dei carabinieri
(possibilmente, portando un esempio)
Definizione e significato geometrico della derivata.
Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange(come si usano? cosa dicono?)
Cosa vuol dire che una funzione e' monotona? Caratterizzare le
funzioni monotone derivabili.
Definizione di Massimo e minimo di una funzione. Come si determinano
i punti di max/min di una funzione derivabile?
Enunciare la formula della derivata di una funzione composta. Usarla
per calcolare la derivata dell'inversa di una funzione.
Cos'e' il polinomio di Taylor, come si usa nei limiti?
Definizione di integrale tramite le somme superiori ed inferiori.
Definizione di primitiva, enunciare il teorema del calcolo
integrale.
(soprattutto se li avete sbagliati nello scritto) enunciare la
formula di integrazione per parti e per sostituzione.
Spiegare come si fa la primitiva di una funzione razionale
(possibilmente con esempi).