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Informazioni e introduzione al corso. Sistemi lineari: esempi, definizioni, variabili dominanti e sistemi triangolari. Risoluzione di sistemi e metodo di sostituzione all'indietro. |
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Ogni sistema triangolare ha esattamente una soluzione. Esempi. Sistemi a gradini: esempi, definizioni, proprietà e risoluzione. Parametri e variabili libere. Proposizione sulle soluzioni dei sistemi a gradini. |
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Sistemi lineari equivalenti. Operazioni elementari. Operazioni elementari danno sistemi equivalenti. Matrici: definizioni e esempi. Matrici associate a un sistema lineare: matrice dei coefficienti e matrice aumentata. Matrici equivalenti, operazioni elementari per riga. Matrici a gradini e Pivot. |
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Algoritmo di Gauss. Matrici ridotte per riga e forma normale a gradini per riga. Algoritmo di Gauss-Jordan. Applicazione alla risoluzione dei sistemi lineari. Rango di una matrice. |
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Teorema di Rouché-Capelli. Ogni sistema lineare ha zero, una o infinite soluzioni. Sistemi omogenei, soluzione banale. Le soluzioni di un sistema usando le soluzioni del sistema omogeneo associato. Scalari e vettori. |
Foglio Es. 1 |
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Spazi vettoriali: definizione e esempi. \(\mathbb{R}^n\), i polinomi e le matrici formano spazi vettoriali. Equazioni vettoriali di sistemi lineari. |
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Equazioni vettoriali e combinazioni lineari. Sottospazi generati (o span) di vettori. Esempi e prime proprietà. |
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Proprietà degli span. Caratterizzazione di insiemi di vettori che generano \(\mathbb{R}^n\) con i pivot. Sottospazi vettoriali: definizioni e esempi. Equazioni cartesiane e generatori di sottospazi vettoriali. |
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Numero di vettori per generare \(\mathbb{R}^n\). Vettori linearmente indipendenti: definizione, esempi e proprietà. Esempio di applicazione. Massimo numero di vettori linearmente indipendenti in \(\mathbb{R}^n\). |
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Proprietà di \(n\) vettori in \(\mathbb{R}^n\). Basi di spazi vettoriali: definizioni ed esempi. La base canonica di \(\mathbb{R}^n\). Spazi finitamente generati: definizioni ed esempi. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ha una base. Ogni base di uno spazio vettoriale ha la stessa cardinalità. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale e primi esempi. |
Foglio Es. 2 |
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Teorema: ogni base di uno spazio vettoriale finitamente generato ha lo stesso numero di elementi. Dimensioni e proprietà di basi. Metodi per trovare la base di sottospazi vettoriali. |
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Basi di sottospazi dati i generatori. Basi di sottospazi come soluzioni di sistemi. Basi, generatori e indipendenza per i polinomi. |
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Interpolazione di punti di \(\mathbb{R}^2\) e il teorema di interpolazione di Lagrange. Basi di spazi di polinomi. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Esempi di calcolo di basi. |
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Somma e intersezione di spazi vettoriali e formula di Grassman. Trasformazioni lineari. Richiami di funzioni. Prodotto di matrice per un vettore e forma matriciale di sistemi lineari. Trasformazioni lineari associate a matrici: esempi e proprietà. |
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Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali: definizione ed esempi. La derivata come trasformazione lineare. Ogni trasformazione lineare da \( \mathbb{R}^n\) a \( \mathbb{R}^p\) é la trasformazione lineare associata a una matrice. Immagine di una trasformazione lineare associata a una matrice. Suriettività e Iniettività in termini delle proprietà delle colonne della matrice associata. Esempi. |
Foglio Es. 3 |
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Esempi di calcolo di nucleo e immagine di trasformazioni lineari da \( \mathbb{R}^n\) a \( \mathbb{R}^p\). Studio delle trasformazioni da \( \mathbb{R}^2\) a \( \mathbb{R}^2\): dilatazioni, rotazioni e riflessioni. |
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Coordinate di vettori rispetto ad una base. La base canonica di \( \mathbb{R}^n\). Esempi di coordinate in \( \mathbb{R}^n\) e per i polinomi. Matrici associate a trasformazioni lineari, fissate basi di dominio e codominio. Esempi. Iniettività di funzioni lineari tra spazi vettoriali. |
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Nucleo e nullità di applicazioni lineari. Suriettività di funzioni lineari, immagine e rango. Esempi. Teorema rango-nullitá di un applicazione lineare. Esempi di applicazioni. Isomorfismi tra spazi vettoriali. Teorema: due spazi vettoriali sono isomorfi se e soltanto se hanno la stessa dimensione. |
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Ogni spazio vettoriale reale di dimensione \(n\) é isomorfo a \(\mathbb{R}^n\). Una funzione lineare é determinata dai suoi valori in una base. Operazioni tra matrici: somma, prodotto per scalare, prodotto per un vettore, prodotto righe per colonne. Esempi. Composizione di trasformazioni lineari. La composizione di funzioni lineari corrisponde alla moltiplicazione delle matrici associate. |
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Proprietà del prodotto righe per colonne. La matrice identità. Trasposta di una matrice. Matrici speciali: matrici diagonali, matrici triangolari inferiori e superiori, matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici invertibili: l'inversa di una trasformazione lineare biiettiva é una trasformazione lineare. |
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Matrici invertibili: definizione, unicità della matrice inversa, proprietà delle matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa usando Gauss-Jordan. Unicità e calcolo delle soluzioni di sistemi lineari con matrice dei coefficienti invertibile. Composizione e inverse di trasformazioni lineari tra spazi vettoriali astratti. |
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Matrici di cambio di base: definizioni, esempi e proprietà. Matrici simili. Determinante: proprietà richieste, definizioni per le matrici \(2 \times 2\). Minori e cofattori. Sviluppo di Laplace e calcolo del determinante. Esempi. Come cambia il determinante per operazioni elementari di riga. Il determinante di una matrice é diverso da zero se e soltanto se la matrice é invertibile. |
Foglio Es. 4 |
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Esempi di calcolo del determinante. La regola di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari. Matrice aggiunta e calcolo dell'inversa di una matrice usando i determinanti. Principio dei minori orlati e rango come massimo ordine di una sottomatrice invertibile. Determinante di un'applicazione lineare. Intro alla diagonalizzazione: il problema delle potenze di una matrice; esempio dei conigli di Fibonacci. |
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