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Informazioni e introduzione al corso. Sistemi lineari: esempi, definizioni, variabili dominanti e sistemi triangolari. Risoluzione di sistemi e metodo di sostituzione all'indietro. |
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Ogni sistema triangolare ha esattamente una soluzione. Esempi. Sistemi a gradini: esempi, definizioni, proprietà e risoluzione. Parametri e variabili libere. Proposizione sulle soluzioni dei sistemi a gradini. |
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Sistemi lineari equivalenti. Operazioni elementari. Operazioni elementari danno sistemi equivalenti. Matrici: definizioni e esempi. Matrici associate a un sistema lineare: matrice dei coefficienti e matrice aumentata. Matrici equivalenti, operazioni elementari per riga. Matrici a gradini e Pivot. |
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Algoritmo di Gauss. Matrici ridotte per riga e forma normale a gradini per riga. Algoritmo di Gauss-Jordan. Applicazione alla risoluzione dei sistemi lineari. Rango di una matrice. |
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Teorema di Rouché-Capelli. Ogni sistema lineare ha zero, una o infinite soluzioni. Sistemi omogenei, soluzione banale. Le soluzioni di un sistema usando le soluzioni del sistema omogeneo associato. Scalari e vettori. |
Foglio Es. 1 |
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Spazi vettoriali: definizione e esempi. \(\mathbb{R}^n\), i polinomi e le matrici formano spazi vettoriali. Equazioni vettoriali di sistemi lineari. |
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Equazioni vettoriali e combinazioni lineari. Sottospazi generati (o span) di vettori. Esempi e prime proprietà. |
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Proprietà degli span. Caratterizzazione di insiemi di vettori che generano \(\mathbb{R}^n\) con i pivot. Sottospazi vettoriali: definizioni e esempi. Equazioni cartesiane e generatori di sottospazi vettoriali. |
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Numero di vettori per generare \(\mathbb{R}^n\). Vettori linearmente indipendenti: definizione, esempi e proprietà. Esempio di applicazione. Massimo numero di vettori linearmente indipendenti in \(\mathbb{R}^n\). |
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Proprietà di \(n\) vettori in \(\mathbb{R}^n\). Basi di spazi vettoriali: definizioni ed esempi. La base canonica di \(\mathbb{R}^n\). Spazi finitamente generati: definizioni ed esempi. Ogni spazio vettoriale finitamente generato ha una base. Ogni base di uno spazio vettoriale ha la stessa cardinalità. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale e primi esempi. |
Foglio Es. 2 |
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Teorema: ogni base di uno spazio vettoriale finitamente generato ha lo stesso numero di elementi. Dimensioni e proprietà di basi. Metodi per trovare la base di sottospazi vettoriali. |
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Basi di sottospazi dati i generatori. Basi di sottospazi come soluzioni di sistemi. Basi, generatori e indipendenza per i polinomi. |
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Interpolazione di punti di \(\mathbb{R}^2\) e il teorema di interpolazione di Lagrange. Basi di spazi di polinomi. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Esempi di calcolo di basi. |
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Somma e intersezione di spazi vettoriali e formula di Grassman. Trasformazioni lineari. Richiami di funzioni. Prodotto di matrice per un vettore e forma matriciale di sistemi lineari. Trasformazioni lineari associate a matrici: esempi e proprietà. |
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Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali: definizione ed esempi. La derivata come trasformazione lineare. Ogni trasformazione lineare da \( \mathbb{R}^n\) a \( \mathbb{R}^p\) é la trasformazione lineare associata a una matrice. Immagine di una trasformazione lineare associata a una matrice. Suriettività e Iniettività in termini delle proprietà delle colonne della matrice associata. Esempi. |
Foglio Es. 3 |
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Esempi di calcolo di nucleo e immagine di trasformazioni lineari da \( \mathbb{R}^n\) a \( \mathbb{R}^p\). Studio delle trasformazioni da \( \mathbb{R}^2\) a \( \mathbb{R}^2\): dilatazioni, rotazioni e riflessioni. |
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Coordinate di vettori rispetto ad una base. La base canonica di \( \mathbb{R}^n\). Esempi di coordinate in \( \mathbb{R}^n\) e per i polinomi. Matrici associate a trasformazioni lineari, fissate basi di dominio e codominio. Esempi. Iniettività di funzioni lineari tra spazi vettoriali. |
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Nucleo e nullità di applicazioni lineari. Suriettività di funzioni lineari, immagine e rango. Esempi. Teorema rango-nullitá di un applicazione lineare. Esempi di applicazioni. Isomorfismi tra spazi vettoriali. Teorema: due spazi vettoriali sono isomorfi se e soltanto se hanno la stessa dimensione. |
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Ogni spazio vettoriale reale di dimensione \(n\) é isomorfo a \(\mathbb{R}^n\). Una funzione lineare é determinata dai suoi valori in una base. Operazioni tra matrici: somma, prodotto per scalare, prodotto per un vettore, prodotto righe per colonne. Esempi. Composizione di trasformazioni lineari. La composizione di funzioni lineari corrisponde alla moltiplicazione delle matrici associate. |
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Proprietà del prodotto righe per colonne. La matrice identità. Trasposta di una matrice. Matrici speciali: matrici diagonali, matrici triangolari inferiori e superiori, matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici invertibili: l'inversa di una trasformazione lineare biiettiva é una trasformazione lineare. |
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Matrici invertibili: definizione, unicità della matrice inversa, proprietà delle matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa usando Gauss-Jordan. Unicità e calcolo delle soluzioni di sistemi lineari con matrice dei coefficienti invertibile. Composizione e inverse di trasformazioni lineari tra spazi vettoriali astratti. |
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Matrici di cambio di base: definizioni, esempi e proprietà. Matrici simili. Determinante: proprietà richieste, definizioni per le matrici \(2 \times 2\). Minori e cofattori. Sviluppo di Laplace e calcolo del determinante. Esempi. Come cambia il determinante per operazioni elementari di riga. Il determinante di una matrice é diverso da zero se e soltanto se la matrice é invertibile. |
Foglio Es. 4 |
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Esempi di calcolo del determinante. La regola di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari. Matrice aggiunta e calcolo dell'inversa di una matrice usando i determinanti. Principio dei minori orlati e rango come massimo ordine di una sottomatrice invertibile. Determinante di un'applicazione lineare. Intro alla diagonalizzazione: il problema delle potenze di una matrice; esempio dei conigli di Fibonacci. |
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Trasformazioni lineari e matrici diagonalizzabili. Autovettori, autovalori e autospazi. Il polinomio caratteristico e il calcolo degli autovalori di una matrica. Il polinomio caratteristico di una trasformazio lineare non dipende dalla base scelta. Calcolo di basi di autospazi. Indipendenza lineare di autovettori relativi ad autovalori distinti. |
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Esempi di calcolo di autovalori e autovettori. Primo criterio di diagonalizzazione. Molteplicità geometrica di un autovalore. Radici e molteplicità algebrica. Polinomi totalmente riducibili. Relazione tra molteplicità algebrica e geometria. Secondo criterio di diagonalizzazione. Esempi. |
Foglio Es. 5 |
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Esempi di studio di diagonalizzazione per funzioni lineari. Introduzione al prodotto scalare su \(\mathbb{R}^n\). Proprietà del prodotto scalare, vettori ortogonali, norma, disuguaglianza di Schwarz e angolo tra due vettori. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti. Basi ortogonali. |
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Basi ortogonali e ortonormali di \(\mathbb{R}^n\) e di un sottospazio. Normalizzazione di vettori. Coordinate rispetto a una base ortonormale e coefficienti di Fourier. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esempi. Matrici ortogonali e teorema spettrale. Esempio. |
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Teorema spettrale ed esempi. Google page rank: il problema del ranking di pagine web connesse da links. Matrici associate a grafi orientati pesat e matrici stocastiche per colonne a autovalori. Calcolo del ranking in alcuni esempi. Unicità del ranking per matrici stocastiche per colonne e positive. Esempio di calcolo del ranking con metodo iterativo. |
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Test di Autovalutazione |
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