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Corso di AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2022-23)

TERZA ED ULTIMA ASSEGNAZIONE DI ESERCIZI DA SVOLGERE PER L'ESAME.

Programma di massima:

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi L^p, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezioni 1-2 (20/09/2022): Introduzione al corso; esempio di insieme non misurabile; algebre e sigma-algebre, esempi, sigma-algebra generate da una famiglia di insiemi.

Lezioni 3-4 (22/09/2022): Sigma-algebra di Borel su uno spazio metrico; sigma-algebre prodotto; sigma-algebra di Borel su R e R^N; misure, esempi, proprietà fondamentali.

Lezioni 5-6 (23/09/2022): Dimostrazione delle proprietà fondamentale delle misure; misure complete, completamento di una misura; misure esterne, misure esterne generate da famiglie elementari.

Lezioni 7-8 (27/09/2022): Insiemi misurabili rispetto a una misura esterna, Teorema di Carathéodory; pre-misure, estensione alla sigma-algebra generata da un'algebra.

Lezioni 9-10 (30/09/2022): Fine della dimostrazione del Teorema di estensione di misure; misura di Borel associata a una funzione crescente continua da destra; pre-misure su unioni finite di intervalli, costruzione di misure di Borel.

Lezioni 11-12 (03/10/2022): Approssimazione con aperti e compatti per misure di Lebesgue-Stieltjes, caratterizzazione degli insiemi misurabili.

Lezioni 13-14 (04/10/2022): Proprietà fondamentali della misura di Lebesgue sui reali; insieme di Cantor, proprietà.

Lezioni 15-16 (07/10/2022): Funzioni misurabili, proprietà, misurabilità di somme, prodotti, estremi superiori e inferiori; funzioni semplici, teorema di approssimazione.

Lezioni 17-18 (10/10/2022): Funzione di Cantor, proprietà; integrale di una funzione semplice positiva, proprietà; integrale di una funzione misurabile positiva.

Lezioni 19-20 (11/10/2022): Teorema della convergenza monotona, corollari; esercizio su Teorema della convergenza monotona; proprietà valide quasi ovunque; Lemma di Fatou.

Lezioni 21-22 (14/10/2022): Integrale di funzioni di segno qualunque, proprietà; Teorema della convergenza dominata, corollario; relazione tra integrale di Riemann e misura di Lebesgue, esempi.

Lezioni 23-24 (17/10/2022): Dimostrazione della relazione tra integrale di Riemann e di Lebesgue; Esercizio sull'integrazione di serie; Teorema di continuità e derivazione sotto integrale.

Lezioni 25-26 (18/10/2022): Dimostrazione del Teorema di continuità e derivazione sotto integrale, esempi; approssimazione con funzioni semplici e funzioni continue; misure prodotto.

Lezioni 27-28 (21/10/2022): Teorema di Fubini-Tonelli, esempi; lemma della classe monotona.

Lezioni 29-30 (24/10/2022): Dimostrazione del Teorema di Fubini-Tonelli; misura di Lebesgue in R^N, proprietà.

Lezioni 31-32 (25/10/2022): Teorema di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue nel caso lineare, lemma ausiliario.

Lezioni 33-34 (28/10/2022): Teorema di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue nel caso generale; coordinate polari in R^N.

Lezioni 35-36 (31/10/2022): Esempi sulle coordinate polari; misure regolari e di Radon su uno spazio metrico; funzioni a supporto compatto e nulle all'infinito.

Lezioni 37-38 (04/11/2022): Relazione tra funzioni a supporto compatto e funzioni nulle all'infinito; funzionali positivi, Teorema di rappresentazione di Riesz, esempi, corollario.

Lezioni 39-40 (14/11/2022): Dimostrazione del Teorema di rappresentazione di Riesz.

Lezioni 41-42 (15/11/2022): Fine dimostrazione del Teorema di Riesz; regolarità delle misure di Borel; Teorema di Lusin.

Lezioni 43-44 (18/11/2022): Dimostrazione del Teorema di Lusin; misure con segno, esempi; Teorema di decomposizione di Hahn.

Lezioni 45-46 (21/11/2022): Dimostrazione del Teorema di decomposizione di Hahn; Teorema di decomposizione di Jordan, variazione positiva, negativa e totale, esempi.

Lezioni 47-48 (22/11/2022): Misure con segno di Radon; Spazi duali; Teorema di Riesz per misure con segno.

Lezioni 49-50 (25/11/2022): Misure assolutamente continue, esempi; Teorema di Radon-Nikodym, decomposizione di Lebesgue, derivata di Radon-Nikodym.

Lezioni 51-52 (28/11/2022): Corollario del Teorema di Radon-Nikodym; Differenziazione di misure, media di funzione su una palla, funzione massimale di Hardy-Littlewood; Teorema di differenziazione di Lebesgue.

Lezioni 53-54 (29/11/2022): Dimostrazione del Teorema di differenziazione di Lebesgue, generalizzazioni; proprietà delle funzioni crescenti.

Lezioni 55-56 (02/12/2022): Funzioni a variazione limitata, esempi, proprietà.

Lezioni 57-58 (05/12/2022): Funzioni a variazione limitata normalizzate, legame con le misure con segno di Borel; funzioni assolutamente continue, esempi, proprietà.

Lezioni 59-60 (06/12/2022): Teorema fondamentale del calcolo; Spazi L^p, proprietà.

Lezioni 61-62 (09/12/2022): Relazione tra gli spazi L^p e L^infinito; disuguaglianze di Hölder, Jensen e Minkowski.

Lezioni 63-64 (12/12/2022): Relazione tra convergenza in L^p e quasi ovunque; completezza degli spazi L^p; inclusioni tra gli spazi L^p.

Lezioni 65-66 (13/12/2022): Dimostrazione delle inclusioni tra gli spazi L^p; densità e approssimazione negli spazi L^p; Convoluzione, Disuguaglianza di Young.

Lezioni 67-68 (16/12/2022): Proprietà della convoluzione; approssimazioni dell'identità; Teorema di approssimazione per convoluzione.

Lezioni 69-70 (19/12/2022): Densità delle funzioni lisce a supporto compatto; Caratterizzazione delle norme L^p; Teorema del duale di L^p, esempi.

Lezioni 71-72 (20/12/2022): Dimostrazione del Teorema del duale di L^p.

Orario delle lezioni:

Lunedì ore 8-10, Aula M4; Martedì ore 14-16, aula 009; Venerdì ore 14-16, aula M4.

Orario di ricevimento:

Studio 202 (palazzina C), per appuntamento.

Modalità di esame:

Consegna degli esercizi assegnati (Prima, seconda e terza assegnazione) e prova orale.

Esami:

Appello A: Lunedì 16 Gennaio 2023, ore 10-13.
Appello B: Lunedì 6 Febbraio 2023, ore 10-13.
Appello C: Lunedì 12 Giugno 2023, ore 10-13.
Appello X: Lunedì 28 Agosto 2023, ore 10-13.

Testi consigliati:

Gerald B. Folland - Real Analysis - Wiley (1999).
L. Battaglia - Dispense di teoria della misura.