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Corso di AM400 - Istituzioni di Analisi Superiore (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2023-24)

TERZA ED ULTIMA ASSEGNAZIONE DI ESERCIZI DA SVOLGERE PER L'ESAME.

Programma di massima:

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi L^p, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezioni 1-2 (21/09/2023): Introduzione al corso; esempio di insieme non misurabile.

Lezioni 3-4 (22/09/2023): Algebre e sigma-algebre, esempi, sigma-algebra generate da una famiglia di insiemi; sigma-algebra di Borel su uno spazio metrico; sigma-algebre prodotto; sigma-algebra di Borel su R e R^N; misure, esempi, proprietà fondamentali.

Lezioni 5-6 (27/09/2023): Dimostrazione delle proprietà fondamentali delle misure; misure complete, completamento di una misura; misure esterne, misure esterne generate da famiglie elementari.

Lezioni 7-8 (28/09/2023): Insiemi misurabili rispetto a una misura esterna, Teorema di Carathéodory; pre-misure, estensione alla sigma-algebra generata da un'algebra.

Lezioni 9-10 (29/09/2023): Dimostrazione del Teorema di estensione di misure; misura di Borel associata a una funzione crescente continua da destra; pre-misure su unioni finite di intervalli, costruzione di misure di Borel.

Lezioni 11-12 (04/10/2023): Approssimazione con aperti e compatti per misure di Lebesgue-Stieltjes.

Lezioni 13-14 (05/10/2023): Caratterizzazione degli insiemi misurabili; proprietà fondamentali della misura di Lebesgue sui reali; insieme di Cantor, proprietà.

Lezioni 15-16 (06/10/2023): Funzioni misurabili, proprietà, misurabilità di somme, prodotti, estremi superiori e inferiori; funzioni semplici, teorema di approssimazione.

Lezioni 17-18 (11/10/2023): Funzione di Cantor, proprietà; integrale di una funzione semplice positiva, proprietà; integrale di una funzione misurabile positiva.

Lezioni 19-20 (12/10/2023): Teorema della convergenza monotona, corollari, esempio; Lemma di Fatou; proprietà valide quasi ovunque.

Lezioni 21-22 (13/10/2023): Integrale di funzioni di segno qualunque, proprietà; Teorema della convergenza dominata, corollario; esercizio sull'integrazione di serie.

Lezioni 23-24 (18/10/2023): Misurabilità delle funzioni Riemann integrabili, condizione equivalente all'integrabilità secondo Riemann.

Lezioni 25-26 (19/10/2023): Teorema di continuità e derivazione sotto integrale, esempi; approssimazione con funzioni semplici e funzioni continue.

Lezioni 27-28 (20/10/2023): Misure prodotto; Teorema di Fubini-Tonelli, esempi; lemma della classe monotona.

Lezioni 29-30 (25/10/2023): Dimostrazione del Teorema di Fubini-Tonelli; misura di Lebesgue in R^N, proprietà.

Lezioni 31-32 (26/10/2023): Teorema di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue nel caso lineare, lemma ausiliario.

Lezioni 33-34 (27/10/2023): Dimostrazione del Teorema di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue; coordinate polari in R^N.

Lezioni 35-36 (02/11/2023): Dimostrazione del Teorema delle coordinate polari, esempi; misure regolari e di Radon su uno spazio metrico; funzioni a supporto compatto e nulle all'infinito.

Lezioni 37-38 (03/11/2023): Relazione tra funzioni a supporto compatto e funzioni nulle all'infinito; funzionali positivi, Teorema di rappresentazione di Riesz, esempi, corollario.

Lezioni 39-40 (15/11/2023): Dimostrazione del Teorema di rappresentazione di Riesz.

Lezioni 41-42 (16/11/2023): Fine dimostrazione del Teorema di Riesz; regolarità delle misure di Borel; Teorema di Lusin.

Lezioni 43-44 (17/11/2023): Dimostrazione del Teorema di Lusin; misure con segno, esempi; Teorema di decomposizione di Hahn. Traccia

Lezioni 45-46 (22/11/2023): Teorema di decomposizione di Jordan, variazione positiva, negativa e totale, esempi; misure con segno di Radon.

Lezioni 47-48 (23/11/2023): Spazi duali; Teorema di Riesz per misure con segno.

Lezioni 49-50 (24/11/2023): Misure assolutamente continue, esempi; Teorema di Radon-Nikodym, decomposizione di Lebesgue, derivata di Radon-Nikodym.

Lezioni 51-52 (29/11/2023): Corollario del Teorema di Radon-Nikodym; Differenziazione di misure, media di funzione su una palla, funzione massimale di Hardy-Littlewood; Teorema di differenziazione di Lebesgue.

Lezioni 53-54 (30/11/2023): Dimostrazione del Teorema di differenziazione di Lebesgue, generalizzazioni; proprietà delle funzioni crescenti.

Lezioni 55-56 (01/12/2023): Funzioni a variazione limitata, esempi, proprietà.

Lezioni 57-58 (06/12/2023): Funzioni a variazione limitata normalizzate, legame con le misure con segno di Borel; funzioni assolutamente continue, esempi.

Lezioni 59-60 (07/12/2023): Proprietà delle funzioni assolutamente continue, Teorema fondamentale del calcolo; Spazi L^p.

Lezioni 61-62 (13/12/2023): Relazione tra gli spazi L^p e L^infinito; disuguaglianze di Hölder, Jensen e Minkowski.

Lezioni 63-64 (14/12/2023): Relazione tra convergenza in L^p e quasi ovunque; completezza degli spazi L^p; inclusioni tra gli spazi L^p.

Lezioni 65-66 (15/12/2023): Dimostrazione delle inclusioni tra gli spazi L^p; densità e approssimazione negli spazi L^p; Convoluzione, Disuguaglianza di Young.

Lezioni 67-68 (20/12/2023): Proprietà della convoluzione; approssimazioni dell'identità; Teorema di approssimazione per convoluzione.

Lezioni 69-70 (21/12/2023): Densità delle funzioni lisce a supporto compatto; Caratterizzazione delle norme L^p; Teorema del duale di L^p, esempi.

Lezioni 71-72 (22/12/2023): Dimostrazione del Teorema del duale di L^p. Traccia

Orario delle lezioni:

Mercoledì ore 11-13, Giovedì ore 9-11, Venerdì ore 16-18, aula M6.

Orario di ricevimento:

Studio 0.18 (moduli prefabbricati), Mercoledì ore 14-16 oppure per appuntamento.

Modalità di esame:

Consegna degli esercizi assegnati (Prima, seconda e terza assegnazione) e prova orale.

Esami:

Appello A: Lunedì 15 Gennaio 2024, ore 10-13.
Appello B: Lunedì 5 Febbraio 2024, ore 10-13.
Appello C: Lunedì 10 Giugno 2024, ore 10-13.
Appello X: Lunedì 2 Settembre 2024, ore 10-13.

Testi consigliati:

Gerald B. Folland - Real Analysis - Wiley (1999);
L. Battaglia - Dispense di teoria della misura.