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Corso di AM450 - Analisi Funzionale (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2018-19)

Programma di massima:

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità e riflessività.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezione 1 (26/02/2019): Introduzione al corso; definizioni di (semi)norme, equivalenza, spazio di Banach; esempi.

Lezioni 2-3 (01/03/2019): Definizione di span lineare; applicazioni lineari, caratterizzazione delle applicazioni lineari continue, esempi; isometrie e spazi duali, esempi.

Lezioni 4-5 (05/03/2019): Prodotti scalari e spazi di Hilbert; ortogonali, proiezioni su chiusi e convessi e sottospazi lineari chiusi, esempi.

Lezioni 6-7 (08/03/2019): Dimostrazione del Teorema di proiezione ortogonale, Teorema di Riesz-Fréchet sul duale di uno spazio di Hilbert; sistemi ortonormali, serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel.

Lezioni 8-9 (12/03/2019): Sistemi ortonormali completi, esempi, esistenza in ogni spazio di Hilbert; caratterizzazione dei sistemi ortonormali; isometria tra un qualsiasi spazio di Hilbert e uno spazio L^2.

Lezioni 10-11 (15/03/2019): Estensioni di funzionali lineari definiti su un sottospazio; Teorema di Hahn-Banach, applicazioni agli spazi duali.

Lezioni 12-13 (19/03/2019): Immersione isometrica nel bi-duale; spazi riflessivi, esempi e controesempi; funzionale di Minkowski, esempi, proprietà.

Lezioni 14-15 (22/03/2019): Separazione di insiemi convessi, forme geometriche del Teorema di Hahn-Banach; caratterizzazione dei sottospazi lineari densi; ortogonalità tra spazi di Banach.

Lezioni 16-17 (25/03/2019): Insiemi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire; Teorema di Banach-Steinhaus, esempi, limite puntuale di operatori lineari continui.

Lezioni 18-19 (26/03/2019): Applicazioni del Teorema di Banach-Steinhaus, convergenza delle serie di Fourier per funzioni continue; Teorema della mappa aperta, continuità dell'inverso di un operatore lineare continuo.

Lezioni 20-21 (29/03/2019): Teorema del grafico chiuso, esempi e applicazioni; complementare di un sottospazio lineare chiuso, esempi, equivalenza con l'esistenza di una proiezione continua suriettiva.

Lezioni 22-23 (02/04/2019): Condizioni sufficienti per l'esistenza di un complementare; caratterizzazioni delle mappe suriettive (iniettive) con inverso destro (sinistro) continuo; esempio di mappa suriettiva senza inverso destro continuo.

Lezioni 24-25 (05/04/2019): Esempio di mappa suriettiva senza inverso destro continuo (conclusione); convergenza debole, proprietà ed esempi; definizione di topologia debole.

Lezioni 26-27 (15/04/2019): Proprietà della topologia debole; caratterizzazione dei chiusi convessi; relazione tra convessità e semi-continuità debole; definizione di convergenza debole* e topologia debole*.

Lezioni 28-29 (16/04/2019): Proprietà della topologia debole*; differenze tra topologie debole e debole*, esempi; Teorema di Banach-Alaoglu.

Lezioni 30-31 (29/04/2019): Relazioni tra separabilità e riflessività derivate deboli, proprietà, esempi; spazi di Sobolev.

Lezioni 32-33 (30/04/2019): Completezza degli spazi di Sobolev, caratterizzazioni equivalenti, esempi; definizione di operatore compatto.

Lezioni 34-35 (03/05/2019): Definizione di immersioni continue e compatte; Teorema di immersione di Sobolev, esempi; funzioni di Sobolev nulle al bordo.

Lezioni 36-37 (13/05/2019): Disuguaglianza di Poincaré densità delle funzioni lisce a supporto compatto; definizione di soluzioni deboli, regolarità.

Lezioni 38-39 (14/05/2019): Esistenza e unicità di soluzioni deboli; proprietà dell'operatore risolvente di un problema ai valori al bordo.

Lezioni 40-41 (17/05/2019): Spazi di Banach e di Hilbert complessi; definizione di spettro puntuale, continuo, residuo, proprietà ed esempi.

Lezioni 42-43 (21/05/2019): Definizione e caratterizzazione del raggio spettrale, esempi; proprietà degli operatori del tipo identità meno compatto.

Lezioni 44-45 (24/05/2019): Alternativa di Fredholm per operatori compatti, esempi; Teorema spettrale per operatori compatti.

Lezioni 46-47 (28/05/2019): Esempi di spettri di operatori compatti; operatori aggiunti, esempi e proprietà operatori autoaggiunti su spazi di Hilbert.

Lezione 48 (31/05/2019): Proprietà degli operatori autoaggiunti; Teorema spettrale per operatori autoaggiunti compatti, esempi.

Orario delle lezioni:

Martedì ore 9-11, aula M6 e Venerdì ore 9-11, aula M3 (nuovo edificio).

Orario di ricevimento:

Lunedì ore 14-16, studio 202 (palazzina C).

Modalità di esame:

Esame scritto e orale. Lo scritto può essere sostituito dai due esoneri.

Esami ed esoneri:

I esonero: Venerdì 12 Aprile 2019, ore 10-13, aula M6; Testo, Soluzioni, Risultati.
II esonero: Lunedì 10 Giugno 2019, ore 10-13, aula M5; Testo, Soluzioni, Risultati.
Appello A: Martedì 18 Giugno 2019, ore 10-13, aula 009.
Appello B: Lunedì 8 Luglio 2019, ore 10-13, aula 009.
Appello X: Lunedì 16 Settembre 2019, ore 10-13, aula 009.
Appello C: Lunedì 10 Febbraio 2020, ore 14-17, aula 009.

Testi consigliati:

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)