GE220 a.a. 2017/2018

Docente titolare: prof. M. Pontecorvo
Esercitazioni: R. Carbone
Tutorato: G. Passeri - B. Renzi

Orario delle lezioni:
Martedì e giovedì dalle 11.00 alle 13.00 in aula G;
Venerdì dalle 9.00 alle 11.00 in aula G (esercitazioni).

Programma del corso

Testi consigliati:
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[3] J. Munkres, Topology, a first course. Prentice-Hall, (1974).

Testo dell'esonero di aprile

Testo dell'esonero di maggio

Testo dello scritto di giugno

Testo dello scritto di luglio

Correzione e visione dello scritto di luglio: mercoledì 25 luglio, ore 12.00, nello studio del professore.

Diario delle lezioni

1 marzo.: Introduzione al corso, spunti di topologia generale e topologia algebrica. Spazi metrici, esempi. Applicazioni continue tra spazi metrici. Dischi aperti e sottoinsiemi aperti. Un'applicazione tra spazi metrici è continua se e solo se la controimmagine degli aperti è aperta.
6 marzo.: Spazi topologici. Definizione di topologia su un insieme, esempi. Topologie confrontabili e non. Applicazioni continue. Basi topologiche, esempi e caratterizzazioni. Intorni.
8 marzo.: Successioni convergenti. Proprietà delle applicazioni continue. La continuità è una proprietà locale. Omeomorfismi, esempi e controesempio.
13 marzo.: Omeomorfismi locali. Interiore, esteriore, bordo, punti di accumulazione per un sottoinsieme qualsiasi di uno spazio topologico. Sottoinsiemi densi. Varietà topologiche. Assiomi di separazione (T₂); spazi di Hausdorff: unicità del limite; i punti sono sottoinsiemi chiusi. Assiomi di numerabiltà (N₂): ogni ricoprimento aperto di uno spazio topologico N₂ ammette un sottoricoprimento numerabile. Uno spazio metrico è N₂ se e solo se ammette un sottoinsieme denso numerabile.
15 marzo.: Sottospazi topologici. Esempi, controesempi. Proprietà universale della topologia di sottospazio. Separazione e numerabilità si conservano nei sottospazi. Il grafico di un'applicazione è (un sottospazio del prodotto) omeomorfo al dominio. Applicazione: la sfera unitaria è una varietà topologica. Applicazione continue definite a tratti.
20 marzo: Topologia prodotto sul prodotto cartesiano di un numero finito di spazi topologici. Proprietà universale della topologia prodotto. Applicazioni. Il prodotto di due varietà topologiche è una varietà topologica. Esempi, tori n-dimensionali. Topologia quoziente, applicazioni quoziente. Fibre e sottoinsiemi saturi.
22 marzo.: Proprietà caratterizzante le applicazioni quoziente: mandano aperti saturi in aperti. Esempi. Proprietà universale delle applicazioni quoziente. Passaggio al quoziente. Esempi: le funzioni periodiche sono definite sul cerchio.
27 marzo.: Azioni di gruppi: il caso più interessante di spazi topologici quoziente. Orbite e nozione di dominio fondamentale. Esempi: $GL(n)$ su $\mathbb{R}^n$, l'azione naturale di $\mathbb{Z}$ su $\mathbb{R}$ ha come quoziente il cerchio. Il cilindro e il toro come quozienti di gruppi discreti. La sfera $S^n$ e lo spazio proiettivo $\mathbb{RP}^n$ come quozienti (diversi) di $\mathbb{R}^{n+1} - \{O\}$.
29 marzo.: Connessione e separazione di uno spazio topologico. Esempi. La connessione è una proprietà topologica. Un'applicazione continua manda spazi connessi in spazi connessi. Gli intervalli sono i sottospazi connessi di $\mathbb{R}$. Proprietà degli spazi connessi e teorema dei valori intermedi. Connessione per archi, esempi. Spazi connessi per archi sono sempre connessi.
6 aprile.: La curva seno del topologo è connessa ma non connessa per archi. Componenti connesse e componenti connesse per archi. Spazi localmente connessi per archi: in questo caso le componenti connesse coincidono con le arco-componenti e sono aperte, oltre a essere (sempre) chiuse.
17 aprile.: Ultime considerazione sulla connessione. Invarianti topologici e correzione del compito in classe. Restituzione dei compiti e risultati.
19 aprile.: Spazi topologici compatti. Il prodotto di due spazi compatti è compatto. Sottoinsiemi compatti in spazi di Hausdorff, metrici e in $\mathbb{R}^n$: teorema di Heine-Borel. Minimax Theorem.
24 aprile.: Lemma dell'applicazione chiusa. Applicazioni: la ciambella è omeomorfa al prodotto di due cerchi e al rettangolo a identificazioni $ab^{-1}ab^{-1}$; ogni compatto convesso di $\mathbb{R}^n$ è omeomorfo alla palla chiusa standard e il suo bordo è omeomorfo alla sfera standard. Ogni ricoprimento aperto di uno spazio compatto ammette numero di Lebesgue. Varie nozioni di compattezza e loro equivalenza sotto opportune ipotesi: punto limite compatto e compatteza per successioni.
26 aprile: Introduzione alla topologia algebrica, invarianti topologici. $\mathbb{R}$ non è omeomorfo a $\mathbb{R}^2$. L'intervallo $[0,1]$ non è omeomorfo al cerchio $S^1$. La famiglia dei cappi di base $x_0$ su uno spazio topogico X. Traccia di un cappio. Cappio costante. Composizione di cappi e cappio inverso. Omotopie di cappi. Composizione di cappi e omotopia.
3 maggio: Il gruppo fondamentale come spazio quoziente dei cappi modulo omotopia. Dipendenza del gruppo fondamentale dal punto base. Spazi semplicemente connessi, esempi. Prop. 7.13: un laccio è contraibile se e solo se puo' essere esteso a un'applicazione continua sul disco. Gruppo fondamentale e applicazioni continue; proprietà funtoriali. Corollario: il gruppo fondamentale è un invariante topologico.
8 maggio.: Il gruppo fondamentale del prodotto di due spazi topologici. Il gruppo fondamentale come funtore dalla categoria Top alla categoria Grp. La nozione di retratto, equivalenza omotopica, retratto di deformazione, spazio topologico contraibile. Esempi e conseguenze sul gruppo fondamentale.
10 maggio: Versione debole del teorema di Van Kampen con dimostrazione. Applicazione: per ogni $n \geq 2$, la sfera $S^n$ è semplicemente connessa. Enunciato del teorema di invarianza del dominio e dimostrazione nel caso $n=2$. Definizione di rivestimento. Il rivestimento banale.
15 maggio: Rivestimenti. Esempi e prime proprietà. Cardinalità della fibra. Sollevamento di applicazioni. Unicità del sollevamento. Sollevamento di archi e di loro omotopie.
17 maggio: Teorema di Monodromia dei rivestimenti. Relazione tra gruppo fondamentale e rivestimenti: teorema di iniettività; azione del gruppo fondamentale sulla fibra. Rivestimento universale. Calcolo del gruppo fondamentale della circonferenza e degli spazi proiettivi reali.
22 maggio: Classificazione di rivestimenti. Morfismi di rivestimenti. Teorema delle classi di coniugio. Teorema del sollevamento di applicazioni. Teorema di isomorfismo di rivestimenti. Spazi localmente semplicemente connessi e non.
24 maggio: Teorema di esistenza di rivestimenti. Applicazioni della corrispondenza tra rivestimenti e sottogruppi del gruppo fondamentale: proprietà universale del rivestimento universale; classificazione dei rivestimenti del cerchio e degli spazi proiettivi reali.