LUCA BATTAGLIA - PAGINA PERSONALE

PAGINA INIZIALE       CURRICULUM       RICERCA       STUDENTI       DIDATTICA       APPUNTI       COLLEGAMENTI

Corso di AM400 - Istituzioni di Analisi Superiore (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2024-25)

I GIORNI VENERDÌ 22 (ORE 16-18, AULA M4) E MERCOLEDÌ 27 (ORE 9-11, AULA 72) SARANNO RECUPERATE LE LEZIONI PERSE.
SECONDA ASSEGNAZIONE (DI TRE) DI ESERCIZI DA SVOLGERE PER L'ESAME.

Programma di massima:

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi L^p, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.
Cenni di teoria geometrica della misura.

Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezioni 1-2 (23/09/2024): Introduzione al corso; esempio di insieme non misurabile; algebre e sigma-algebre, esempi, sigma-algebra generate da una famiglia di insiemi.

Lezioni 3-4 (24/09/2024): Sigma-algebre prodotto; sigma-algebra di Borel su R e R^N; misure, esempi, proprietà fondamentali.

Lezioni 5-6 (25/09/2024): Dimostrazione delle proprietà fondamentali delle misure; misure complete, completamento di una misura; misure esterne, misure esterne generate da famiglie elementari.

Lezioni 7-8 (30/09/2024): Insiemi misurabili rispetto a una misura esterna, Teorema di Carathéodory; pre-misure, estensione alla sigma-algebra generata da un'algebra.

Lezioni 9-10 (01/10/2024): Fine della dimostrazione del Teorema di estensione di misure; misura di Borel associata a una funzione crescente continua da destra; pre-misure su unioni finite di intervalli, costruzione di misure di Borel.

Lezioni 11-12 (03/10/2024): Approssimazione con aperti e compatti per misure di Lebesgue-Stieltjes, caratterizzazione degli insiemi misurabili.

Lezioni 13-14 (07/10/2024): Proprietà fondamentali della misura di Lebesgue sui reali; insieme di Cantor, proprietà; funzioni misurabili.

Lezioni 15-16 (08/10/2024): Proprietà delle funzioni misurabili, misurabilità di somme, prodotti, estremi superiori e inferiori; funzioni semplici, teorema di approssimazione.

Lezioni 17-18 (10/10/2024): Funzione di Cantor, proprietà; integrale di una funzione semplice positiva, proprietà; integrale di una funzione misurabile positiva.

Lezioni 19-20 (14/10/2024): Teorema della convergenza monotona, corollari, esempio; Lemma di Fatou; proprietà valide quasi ovunque.

Lezioni 21-22 (15/10/2024): Integrale di funzioni di segno qualunque, proprietà; Teorema della convergenza dominata, corollario, esempio; approssimazione con funzioni semplici e funzioni continue.

Lezioni 23-24 (17/10/2024): Teorema di continuità e derivazione sotto integrale, esempi; convergenza in media e in misura, esempi, relazione tra convergenze in media, in misura e quasi ovunque.

Lezioni 25-26 (21/10/2024): Dimostrazione della relazione tra vari tipi di convergenza; convergenza quasi-uniforme, Teorema di Egoroff; misure prodotto.

Lezioni 27-28 (22/10/2024): Teorema di Fubini-Tonelli, esempi, lemma della classe monotona, dimostrazione del Teorema di Fubini.

Lezioni 29-30 (24/10/2024): Dimostrazione del Teorema di Tonelli; misura di Lebesgue in R^N, proprietà.

Lezioni 31-32 (28/10/2024): Misure regolari e di Radon su uno spazio metrico; funzioni a supporto compatto e funzioni nulle all'infinito; funzionali positivi, Teorema di rappresentazione di Riesz.

Lezioni 33-34 (29/10/2024): Dimostrazione del Teorema di rappresentazione di Riesz, corollario, esempi.

Lezioni 35-36 (31/10/2024): Fine della dimostrazione del Teorema di rappresentazione di Riesz; regolarità delle misure di Borel.

Lezioni 37-38 (04/11/2024): Teorema di Lusin; misure con segno, esempi; Teorema di decomposizione di Hahn.

Lezioni 39-40 (05/11/2024): Dimostrazione del Teorema di decomposizione di Hahn; Teorema di decomposizione di Jordan, variazione positiva, negativa e totale.

Lezioni 41-42 (07/11/2024): Misure con segno di Radon, spazi duali; Teorema di Riesz per misure con segno; misure assolutamente continue.

Lezioni 43-44 (11/11/2024): Caratterizzazione della assoluta continuità, Teorema di Radon-Nikodym, decomposizione di Lebesgue, derivata di Radon-Nikodym, corollario.

Lezioni 45-46 (14/11/2024): Differenziazione di misure, media di funzione su una palla, funzione massimale di Hardy-Littlewood; Teorema di differenziazione di Lebesgue.

Lezioni 47-48 (19/11/2024): Generalizzazioni del Teorema di differenziazione di Lebesgue; proprietà delle funzioni crescenti; funzioni a variazione limitata.

Lezioni 49-50 (21/11/2024): Proprietà delle funzioni a variazione limitata; Funzioni a variazione limitata normalizzate.

Lezioni 51-52 (22/11/2024): Legame tra funzioni a variazione limitata e misure con segno; funzioni assolutamente continue, proprietà.

Orario delle lezioni:

Lunedì ore 14-16, Martedì ore 16-18, Giovedì ore 14-16, aula M6.

Orario di ricevimento:

Studio 0.18 (moduli prefabbricati), Mercoledì ore 16-18 oppure per appuntamento.

Modalità di esame:

Consegna degli esercizi assegnati (Prima e seconda di tre assegnazioni) e prova orale.

Esami:

Appello A: Lunedì 20 Gennaio 2025, ore 14-17.
Appello B: Lunedì 3 Febbraio 2025, ore 10-13.
Appello C: Lunedì 16 Giugno 2025, ore 10-13.
Appello D: Lunedì 30 Giugno 2025, ore 10-13.
Appello E: Lunedì 25 Agosto 2025, ore 10-13.
Appello F: Lunedì 8 Settembre 2025, ore 10-13.

Testi consigliati:

Gerald B. Folland - Real Analysis - Wiley (1999);
L. Battaglia - Dispense di teoria della misura.