GE210 - Geometria 2
Dipartimento di Matematica e Fisica
Università degli studi Roma Tre
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Ricevimento studenti
Orario delle lezioni:
Lunedì 16:00-18:00 Aula G (esercitazione)
Martedì 9:00-11:00 Aula G
Mercoledì 16:00-18:00 Aula G (tutorato)Giovdì 9:00-11:00 Aula G
Diario delle lezioni (prof. S. Verra):
LEZIONE 1
Argomenti: Definizione di forma bilineare. Esempi. Forme bilineari simmetriche, antisimmetriche, prodotti scalari di vettori geometrici. Matrice associata rispetto a una base e sua proprietà fondamentale. Condizione necessaria per la diagonalizzabilità di una forma bilineare. Teorema di esistenza di basi diagonalizzanti.
LEZIONE 2
Argomenti: Vettori ortogonali. Spazio ortogonale a un sottoinsieme. Equazioni di un sottospaio ortogonale. Vettori isotropi. Descrizione del cono isotropo in dimensione \(2\) per uno spazio vettoriale reale. Il cono isotropo è un cono quadrico. Esistenza in caratteristica diversa da \(2\) di vettori non isotropi se la forma è non nulla. Decomposizione di uno spazio vettoriale nella somma diretta della retta vettoriale generata da un vettore non isotropo \(\mathbb{v}\) con il sottospazio a questa ortogonale. Dimostrazione del teorema di esistenza di basi diagonalizzanti.
LEZIONE 3
Argomenti: Dato \(W\) sottospazio di \(V\) formato da vettori non nulli non isotropi, allora \(V = W \oplus W^{\bot} \). Rango di una forma bilineare. Esempi di diagonalizzazione per induzione di forme bilineari simmetriche di rango massimo e non. Sia data una forma bilineare \(F\) e siano \(\mathbb{a}\) e \(\mathbb{b}\) basi di \(V\). Siano \(A\) e \(B\) le matrici di \(F\) relative ad \(\mathbb{a}\) e \(\mathbb{b}\) rispetttivamente. Allora \(A = P^TBP\), dove \(P\) è la matrce del cambiamento di base da \(\mathbb{a}\) a \(\mathbb{b}\).
LEZIONE 4
Argomenti: Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Corrispondenza biunivoca tra forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Fissata una base, la forma quadratica si rappresenta con un polinomio omgeneo di secondo grado. Se \(k\) è un campo algebricamente chiuso, allora una forma si può scrivere come somma di quadrati delle incognite rispetto a una opportuna base diagonalizzante. Nel caso reale ci si riduce ad una espressione della forma: \(x_1^2 + \dots + x_p^2 -x_{p+1}^2 -\dots- x_r^2\).
LEZIONE 5
Argomenti: Riduzione a forma canonica di una forma bilineare simmetrica su un campo algebricamente chiuso. Riduzione a forma canonica di una forma bilineare simmetrica su \(\mathbb{R}\): legge di inerzia di Sylvester. Prodotti scalari. Prodotto scalare standard. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz.
LEZIONE 6
Argomenti: Norma indotta da un prodotto scalare. Basi ortogonali. Basi ortonormali. Disuguaglianza triangolare. Teorema di Gram-Schmidt.
LEZIONE 7
Argomenti: Dimostrazione del teorema di Gram-Schmidt. Una forma bilineare simmetrica è un prodotto scalare se e solo se la serie dei minori principali di una qualsiasi matrice associata alla forma è costituita da numeri strettamente positivi (dimostrazione). Basi ortogonali e ortonormali. La matrice di passagggio da una base ortonormale ad un'altra ortonormale è ortogonale. Viceversa: trasformando una base ortonormale con una matrice ortogonale si ottiene una nuova base ortonormale.
LEZIONE 8
Argomenti: Vettori a due a due ortogonali rispetto ad un prodotto scalare sono linearmente indipendenti. Matrici ortogonali reali quadrate di ordine due: interpretazione geometrica. Matrici di rotazione di centro l' origine nel piano euclideo reale.
LEZIONE 9
Argomenti: Caratterizzazione degli operatori unitari. Proprietà degli operatori unitari: autovalori, la matrice assciata rispetto ad una base ortonormale è ortogonale. Gli operatori unitari di ordine \(2\) inducono rotazioni o riflessioni nel piano euclideo.
LEZIONE 10
Argomenti: Isometrie. Caratterizzazione: le isometrie sono tutte e sole le affinità associate ad un operatore unitario. Simmetrie.
LEZIONE 11
Argomenti: Operatori aggiunti. Operatori simmetrici. Teorema spettrale. Ogni matrice reale simmetrica è diagonalizzabile ed ammette una base ortonormale di autovettori.
LEZIONE 12
Argomenti: Definizione di spazio proiettivo \(\mathbb{P}(V)\) come insieme delle rette vettoriali di uno spazio vettoriale \(V\). Definizione di Grassmaniana \(G(r,V)\). Lo spazio proiettivo \(\mathbb{P}(V)\) è in corrispondenza biunivoca con l' insieme quoziente \(V\setminus \{0\} / \sim\), dove \(\sim\) è la relazione di equivalenza di proporzionalità. Lo spazio proiettivo numerico standard \(\mathbb{P}^n(k)\). Cenni sul piano proiettivo reale. Coordinate proiettive di un punto. Equazioni in coordinate proiettive e polinomi omogenei. Primi esempi di luoghi geometrici definiti da equazioni polinomiali omogenee.
LEZIONE 13
Argomenti: Proiettività. Curve piane e coniche nel piano proiettivo. Classificazione delle coniche nel piano proiettivo (cenni).
LEZIONE 14
Argomenti: Ancora sulle proiettività. Trasformazione di una conica sotto l'azione di una proiettività. Coniche proiettivamente equivalenti. Forme canoniche delle coniche nel piano proiettivo reale: classificazione (a meno di un cambiamento del segno del polinomio associato) per rango e segnatura. Caso di un'iperbole e di un'ellisse proiettivamente equivalenti.
LEZIONE 15
Argomenti: Classificazione delle coniche affini.
LEZIONE 16
Argomenti: Classificazione delle coniche euclidee.
Diario delle esercitazioni:
LEZIONE 1
Argomenti: Richiami sugli spazi affini. Isomorfismi affini tra spazi affini. Affinità di uno spazio affine. Relazione di equivalenza indotta dall'isomorfismo affine. Ogni spazio affine di dimensione \(n\) su un campo \(K\) è isomorfo a \(\mathbb{A}^n(K)\). Due spazi affini su \(K\) della stessa dimensione sono isomorfi. Esistenza ed unicità dell'affinità definita a partire da un automorfismo di \(V\) e dall'immagine di un qualsiasi punto di \(\mathbb{A}(V)\). Le affinità di \(\mathbb{A}^n(K)\) hanno equazioni del tipo \(f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}\) dove \(A\in GL_n(K)\) e \(\mathbf{b}\in K^n\). Le affinità trasformano sottospazi affini in sottospazi affini. La dimensione di un sottospazio è un invariante affine. Le affinità trasformano sottospazi affini paralleli in sottospazi affini paralleli. Esiste ed è unica l'affinità che manda una \((n+1)\)-pla di punti indipendenti in una \((n+1)\)-pla di punti indipendenti. I triangoli sono affinemente equivalenti. I parallelogrammi sono affinemente equivalenti.
ESERCIZI
LEZIONE 2
Argomenti: Forme bilineari. Forme bilineari simmetriche, antisimmetriche, alterne. In caratteristica diversa da due le forme alterne sono tutte e sole le antisimmetriche. Due matrici sono associate alla stessa forma bilineare se e solo se sono congruenti. Il rango, la simmetria e l'antisimmetria di una forma bilineare sono invarianti per congruenza. Diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche con l'algoritmo di Lagrange. Forme bilineari degeneri. Ortogonalità. Complemento ortogonale di un sottospazio. Vettori isotropi. Cono isotropo.
LEZIONE 3
Argomenti: Teorema di Sylvester (legge di inerzia). Diagonalizzazione di matrici simmetriche rispetto a basi di autovettori e rispetto a basi ortogonali. Radicale di uno spazio vettoriale e cono isotropo: relazioni tra essi. Prodotti scalari su spazi vettoriali reali. Caratterizzazione dei prodotti scalari: una forma \(b\) bilineare simmetrica reale è definita positiva se e solo i minori della serie principale di una qualsiasi matrice associata a \(b\) sono tutti strettamente positivi. Norme: definizione e proprietà. Diseguaglianza triangolare.
LEZIONE 4
Argomenti: Diagonalizzazione di forme quadratiche con il metodo del completamento del quadrato. Teorema di Pitagora. Teorema di Carnot. Procedimento ortogonalizzante di Gram-Schmidt. Basi ortonormali. Costruzione di matrici simmetriche ortogonali.
LEZIONE 5
Argomenti: Operatori ortogonali. Classificazione degli operatori ortogonali di \(\mathbb{R}^2\): rotazioni e simmetrie del piano. Determinazione dell'asse di simmetria dei ribaltamenti di \(\mathbb{R}^2\). Il gruppo delle isometrie del piano. Stabilizzatori e orbite sotto l'azione di gruppi di isometrie. I gruppi diedrali. Riflessione associata ad un vettore. Simmetria assiale (riflessione ortogonale) rispetto ad una retta data. La composizione di due ribaltamenti genera una rotazione.
ESERCIZI IN PREPARAZIONE ALL'ESONERO Soluzioni
LEZIONE 6
Argomenti: Correzione della prima prova di esonero. Prodotto vettoriale in uno spazio euclideo di dimensione 3. Proprietà del prodotto vettoriale. Interpretazione ed utilità geometrica del prodotto vettoriale. Area del parallelogramma costruito su due vettori. Area del triangolo individuato da tre punti. Interpretazione geometrica dei coefficienti di Fourier. Angolo tra vettori in uno spazio vettoriale euclideo. Versori normali ad una retta del piano. Angolo convesso tra rette nel piano cartesiano (indeterminazione dovuta al segno dei versori). Base del piano definita a partire da una retta. Distanza tra un punto e una retta nel piano.
LEZIONE 7
Argomenti: Vettori e versori ortogonali ad un piano nello spazio euclideo tridimensionale. Significato geometrico dei parametri di giacitura di un piano nello spazio. Rette ortogonali ad un piano. Distanza di un punto da un piano. Distanze e spazi metrici (cenni). Perpendicolare comune e minima distanza di due rette sghembe. Simmetria assiale rispetto ad una retta nel piano. Uso delle isometrie piane nelle arti figurative e nei lavori contrappuntistici di J.S. Bach. Operatori simmetrici e teorema spettrale.
LEZIONE 8
Argomenti: Introduzione storica alla geometria proiettiva. Gemetria dello spazio visto da un occhio solo. Spazi proiettivi. Dimensione di uno spazio proiettivo. Riferimento proiettivo e sistemi di coordinate omogenee. Iperpiani di uno spazio proiettivo. Rette nel piano proiettivo. Piani in uno spazio proiettivo tridimensionale. Rette fondamentali del piano proiettivo. Sottospazi proiettivi. Retta proiettiva passante per due punti distinti. Piano proiettivo passante per tre punti non allineati. Due rette nel piano proiettivo non hanno mai intersezione vuota. Due piani o una retta ed un piano nello spazio proiettivo tridimensionale hanno intersezione mai vuota. Rette sghembe nello spazio proiettivo. Date due rette sghembe ed un punto fuori di esse, esiste una retta passante per il punto ed incidente le due rette date. Costruzione di Desargues della retta proiettiva. Punto improprio all'infinito. Rette parallele nel piano affine hanno il punto improrpio (la loro direzione) in comune.
LEZIONE 9
Argomenti: Spazi proiettivi come estensioni di spazi affini. Omogenizzazione di coordinate affini e deomogenizzazione di coordinate proiettive. Punti impropri e punti propri dello spazio proiettivo. Modello del piano proiettivo reale: sfera bidimensionale con identificazione antipodale. Interpretazione geometrica sul modello dato delle proprietà del piano proiettivo reale. Chiusura proiettiva di enti affini. Scheletro affine di enti proiettivi.
LEZIONE 10
Argomenti: Riferimenti proiettivi. Proiettività. Punti linearmente indipendenti. Punti in posizione generale. Teorema fondamentale delle proiettività. Punti fissi. Curve algebriche proiettive. Classificazione delle coniche proiettive reali. Le coniche affini non singolari corrispondono alla stessa conica proiettiva generale reale.
ESERCIZI
LEZIONE 11
Argomenti: Classificazione delle coniche proiettive reali e complesse. Riduzione a forma canonica di coniche proiettive. Regola dei segni di Harriot-Descartes. Teorema di invarianza. Teorema di riduzione. Teorema di classificazione delle coniche euclidee. Grafici di coniche euclidee. Coniche a centro e coniche senza centro. Le coniche a centro sono necessariamente di tipo ellittico o iperbolico ed hanno due assi di simmetria. Le coniche senza centro sono di tipo parabolico con un solo asse di simmetria. Se una conica \(\mathscr C\) è a centro, allora il suo centro ha coordinate \(C=\left(\frac{\mathscr A_{01}}{\textrm{det}Q},\,\frac{\mathscr A_{02}}{\textrm{det}Q}\right)\) e i suoi assi di simmetria sono orientati come gli autospazi della matrice \(Q\). Se una conica non ha centro, allora il suo asse di simmetria è parallelo all'autospazio \(E(0)\), inoltre, se la conica è una parabola non degenere, allora il vertice della parabola è dato dall'intersezione tra la conica e la retta parallela all'autospazio associato all'autovalore non nullo di \(Q\) tangente a \(\mathscr C\).
Note sulle coniche euclidee a cura del prof. A. Savo
ESERCIZI
Diario del tutorato:
Foglio 1 Foglio 2 Foglio 3 Foglio 4 Foglio 5 Foglio 6 Foglio 7 Foglio 8 Foglio 9 Foglio 10
Prove d'esame:
Primo esonero Secondo esonero Appello A Appello B Appello C Appello X
Libri di testo consigliati:
Geometria I, Sernesi, Bollati Boringhieri