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  Curriculum:

Nata a Roma.  Laurea in fisica nel 98. (Metodo multiscala ed integrabilita', con Degasperis)

Dottorato in matematica nel 2002 (Estimates on Hamiltonian splittings con Chierchia)

link al mio talk all' ICM Stability and recursive solutions for Hamiltonian PDEs

Positions

• ''Assegno di Ricerca'' at SISSA (Trieste), April 2002- Sept. 2004
• ''Assegno di Ricerca'' at the University of Rome Tre, March 2005- Sept. 2006
• Post. Doc. grant '' Francesco Severi'' INdAM, Oct. 2006-Oct. 2007
• Reasercher of Mathematical Analysis at University Federico II of Naples,  november 2007- december 2011
• Reasercher of Mathematical Analysis at University of Rome La Sapienza,  jan. 2012- aug. 2015
  
• Associate Professor in Mathematical Analysis at University of Roma Tre, sept. 2015-oct. 2019
• Full professor in Mathematical Analysis at University of Roma Tre, since Nov. 2019
  
• November 2012- Oct. 2018  Principal Investigator of the ERC starting grant: Hamiltonian PDEs and small divisor problems:
  a dynamical systems approach.
  

• Main Reaserch Interests

• Hamiltonian Partial Differential Equations:
  • Periodic and Quasi-Periodic solutions for semi-linear PDEs
  • Normal forms, Periodic and Quasi-Periodic solutions for completely resonant PDE's 
  • Lindstedt series and Small divisor problems in high dimensional PDE's
• Nash-Moser Implicit Function Theorems
• Dynamical Systems:  Arnold Diffusion
• Integrable PDEs

[0] A. Degasperis e M. Procesi A test in Asymptotic Integrability of 1 + 1 wave equations in Proceedings of the international conference in Tiruchirapalli India, Feb 1998 pp.17-23

[1] A. Degasperis, M. Procesi: Asymptotic Integrability, in Proceedings of the International Workshop    on Symmetry and Perturbation Theory SPT98, A. Degasperis, G. Gaeta ed. World Scientic Press pp. 23-37.     This paper has more than 400 citations on ISI  Web of Science

[2] M. Procesi: Exponentially small splitting and Arnold diffusion for multiple time scale systems Rev. Math. Phys. 15, 4 (2003), pp. 339-386

[3] G. Gentile, V. Mastropietro, M. Procesi: Periodic solutions of completely resonant nonlinear wave equations Comm. Math. Phys. 256, 2 (2005), pp. 437-490

[4] M. Procesi: Quasi-periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations in 1D and 2D  Discr. Cont. Dyn. Syst. A 13, 3 (2005) pp. 541-552

[5] G. Gentile, M. Procesi: Conservation of resonant periodic solutions for the one dimensional nonlinear Schrodinger equation, Comm. Math. Phys. 262, 3 (2006), pp. 533-553.

[6] M. Berti, M. Procesi: Quasi-periodic oscillations for wave equations under periodic forcing Rendiconti Mat. Acc. Naz. Lincei. s.9 16 (2005) pp. 109-116.

[7] M. Berti, M. Procesi: Quasi-periodic solutions of completely resonant forced wave Comm. in PDEs 31 , 6 (2006), pp.959-985.

[8] V. Mastropietro, M. Procesi: Lindstedt series for periodic solutions of beam equations under quadratic and velocity dependent nonlinearities Comm. Pure Appl. Anal. 5, 1, (2006) pp. 1-28

[9] G. Gentile, M. Procesi: Periodic solutions for the Schrodinger equation with non-local smoothing nonlinearities in higher dimension. J. Diff. Eq. Vol. 245, (2008) pp. 3253-3326

[10] G. Gentile, M. Procesi: Periodic solutions for a class of nonlinear partial differential equations in higher dimension. Comm. Math. Phys. vol. 289; pp. 863-906 (2009)

[11] M. Berti, P. Bolle, M. Procesi: An abstract Nash Moser theorem with applications to non linear PDEs Annales Inst. Poincare vol. 27; (2010) pp. 377-399.

[12] M. Berti, M. Procesi: Nonlinear wave equations on Compact Lie groups and homogeneous manifolds. Duke Math. J. Vol. 159, n. 3 (2011), p. 479-538.

[13] L. Corsi, G. Gentile, M. Procesi: KAM theory in con�guration space and cancellations in the Lindstedt series Communications in Mathematical Physics 302 (2011), no. 2, 359-402.

[14] M. Procesi: A normal form for beam and non-local nonlinear Schrodinger equations J. Phys. A: Math. Theor. Vol: 43 (2010) n. 434028


[15] Procesi C.and Procesi M.: A normal form of the nonlinear Schrodinger equation with analytic non--linearities Comm. Math. Phys 312 (2012), 501-557

[16] Berti M. , Biasco L. Procesi M.: KAM theory for the Hamiltonian derivative wave equation  Annales Scientifiques de l' ENS  46 (2) 2013

[17] Procesi M. and Xu X.: Quasi-Toplitz Functions in KAM Theorem.  SIAM J. of Math. Anal. vol. 45, p. 2148-2181

[18] Bich V. Procesi C. and  Procesi M.:  The energy graph of the nonlinear Schrodinger equation. Rend. Lincei Mat. Appl., 24, 2013.

[19] Berti M. , Biasco L. Procesi M. Existence and stability of quasi-periodic solutions for derivative wave Rend. Lincei Mat. Appl. p. 199-214 vol 24, 2013

[20] Berti M. , Biasco L. Procesi M. KAM for Reversible Derivative Wave Equations, Archive for Rational Mechanics and Analysis: Volume 212, Issue 3 (2014), Page 905-955

[21] Berti M., Corsi L., Procesi M. An abstract Nash-Moser theorem and quasi-periodic solutions for NLW and NLS on compact Lie groups and homogeneous manifolds Comm. Math. Phys. 334 (2015) n.3 pp. 1413-1454

[30] L.Corsi, R. Feola, M. Procesi:Finite dimensional invariant KAM tori for tame vector fields, , 2019, 372(3), pp. 1913–1983

[31]  Maspero, A., Procesi, M.  Long time stability of small finite gap solutions of the cubic nonlinear Schrödinger equation on T2 (2018) Journal of Differential Equations, 265 (7), pp. 3212-3309.

[32] Feola, R., Giuliani, F., Montalto, R., Procesi, M. Reducibility of first order linear operators on tori via Moser's theorem (2019) Journal of Functional Analysis, 276 (3), pp. 932-970.

[33] Biasco, L., Massetti, J.E., Procesi, A note on the construction of Sobolev almost periodic invariant tori for the 1d NLS Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Rendiconti Lincei Matematica e Applicazioni, 31 (4), pp. 981-993

[34] Biasco, L., Massetti, J.E., Procesi, M. An Abstract Birkhoff Normal Form Theorem and Exponential Type Stability of the 1d NLS (2020) Communications in Mathematical Physics, 375 (3), pp. 2089-2153

[35] Feola, R., Giuliani, F., Procesi, M. Reducible KAM Tori for the Degasperis–Procesi Equation

(2020) Communications in Mathematical Physics, 377 (3), pp. 1681-1759.

[36] Montalto, R., Procesi, M. Linear Schrödinger equation with an almost periodic potential (2021) SIAM Journal on Mathematical Analysis, 53 (1), pp. 386-434.

[37] Biasco, L., Massetti, J.E., Procesi, M.Almost periodic invariant tori for the NLS on the circle (2021) Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Analyse Non Lineaire, 38 (3), pp. 711-758.

[38] Corsi, L., Montalto, R., Procesi, M. Almost-Periodic Response Solutions for a Forced Quasi-Linear Airy Equation (2021) Journal of Dynamics and Differential Equations, 33 (3), pp. 1231-1267.

[39] Procesi, M., Stolovitch, L. About Linearization of Infinite-Dimensional Hamiltonian Systems (2022) Communications in Mathematical Physics, 394 (1), pp. 39-72.

[40] Guardia, M., Hani, Z., Haus, E., Maspero, A., Procesi, M. Strong nonlinear instability and growth of sobolev norms near quasiperiodic finite-gap tori for the 2d cubic NLS equation,J. Eur. Math. Soc. 25 (2023), no. 4, pp. 1497–1551

[41]  Biasco, L., Massetti, J.E., Procesi, Weak Sobolev almost periodic solutions for the 1D NLS, accepted on Duke Math. J.

[42]  Haus, E., Langella, B., Maspero, A., Procesi, M., Reducibility and nonlinear stability for a quasi-periodically forced NLS to appear on Pure and Applied Mathematics Quarterly

  STUDENTI

Nicoletta Camerini (Matematica) Funzioni Periodiche Serie di Fourier e applicazioni.

Francesca Riggi,   Il teorema della Divergenza e le sue applicazioni

Davide Zaccaria  (Fisica) Operatore di Schrodinger con potenziale periodico e quasi-periodico. 

Shulamit Terracina:Matematica) Riducibilita' per PDE con coefficienti quasi-periodici nel tempo.

Matteo Pandolfi (Matematica) Forma Normale Di Birkhoff.

Nel lavoro di Tesi di Laurea, ho sviluppato un test (basato su una congettura, riguardo alle espansioni in serie formali) per determinare l'integrabilita di PDE sul cerchio. Questo test ha permesso di individuare una nuova equazione integrabile (Degasperis-Procesi) -vedi [1]- che è stata ampiamente studiata per le possibili applicazioni all'idrodinamica.  In effetti, benche’ tale equazione sia integrabile nel senso di Lax, non si sa dimostrare ne’ l’esistenza di una mappa di Birkhoff ne di soluzioni quasi-periodiche, e la maggior parte della letteratura riguarda la costruzione di soluzioni speciali (peakons o soluzioni periodiche). Recentemente, con Feola e Giuliani, ho ripreso lo studio di tale equazione dal punto di vista della costruzione di soluzioni quasi-periodiche piccole di cui siamo in grado di dimostrare esistenza e stabilita’ lineare.

Nella tesi di Dottorato ho lavorato sul problema dello splitting omoclino e diffusione di Arnold.  Ho utilizzato principalmente tecniche diagrammatiche sivluppate in questo ambito da Chierchia e Gallavotti.  Il mio contributo principale è stato trovare una nuova costante del moto formale che mi ha permesso di dimostrare una congettura di Gallavotti sulla matrice di splitting di un sistema a priori stabile con più scale temporali, vedi [2].

Con Gentile e Mastropietro in [3,5,8] ho contribuito a generalizzare le tecniche di serie di Lindstedt per la determinazione di soluzioni periodiche per PDE. Il primo risultato è stato l'esistenza di soluzioni periodiche per l'equazione delle onde non lineare completamente risonante. Questo  è stato (assieme al contemporaneo lavoro di Berti e Bolle) il primo risultato di questo tipo, la maggiore difficoltà sta nel gestire contemporaneamente il problema ai piccoli divisori  e la risoluzione dell'equazione di biforcazione infinito dimensionale.

Assieme a G. Gentile [9,10] ho anche generalizzato le tecniche alla Lindstedt a PDE su tori di dimensione qualsiasi, dove le seconde condizioni di Melnikov non sono verificate; questo ci ha permesso di dimostrare l'esistenza di soluzioni periodiche a pacchetto d'onda per la NLS completamente risonante.

Nel lavoro [4] e poi  in [6,7] con Berti, ho studiato una equazione di onde non-lineare sul toro bidimensionale ed ho dimostrato l'esistenza di soluzioni quasi-periodiche con due frequenze. L'idea principale è di restringersi ad un appropriato sottospazio invariante su cui l'equazione si semplifica in modo significativo. A parte un recente preprint di W.M. Wang questi sono a tutt'ora gli unici risultato di esistenza di soluzioni quasi-periodiche per tale equazione.

Nash-Moser: In collaborazione con  Berti e Bolle [11] ho sviluppato un algoritmo Nash-Moser astratto che si è rivelato utile nelle applicazioni ai problemi ai piccoli divisori legati all'esistenza di soluzioni periodiche e quasi-periodiche per PDE su varietà compatte.

Assieme a Berti [12] e poi a Berti e Corsi [13] ho quindi dimostrato l'esistenza di soluzioni periodiche, e poi quasi-periodiche, per NLS e NLW su una varietà omogenea compatta. Al momento questi sono gli unici risultati di questo tipo per varietà di rango maggiore di uno (la rimanente letteratura riguarda solo il caso di sfere o varietà di Zoll, che sono molto più semplici da studiare).

Teoria KAM:  Assieme a X. Xu  ho studiato l'esistenza e stabilità di soluzioni quasi-periodiche per la  NLS sul toro (di dimensione arbitraria). Qui uno dei problemi principali è di avere una descrizione precisa dell'asintotica degli autovalori dell'equazione linearizzata in una soluzione approssimata. Questo problema è stato affrontato per la prima volta da Kuksin ed Eliasson introducendo la classe delle Hamiltoniane Toplitz-Lipschitz.  In [16] abbiamo semplificato tale approccio definendo una  nuova  classe di funzioni, le  quasi-Toplitz,  che sono  più generali e (forse) più semplici da usare. 

Assieme a M. Berti e L. Biasco  ho generalizzato tale classe di funzioni  per studiare la equazione delle onde con una derivata nella non linearità, sia in ambito Hamiltoniano [17]  che reversibile [19, 20].

Recentemente mi sono interessata all'uso di metodi di calcolo pseudo e para differenziale per dimostrare l'esistenza e stabilità di soluzioni quasi periodiche per PDE completamente non lineari sul cerchio. Questa strategia è stata proposta da Baldi Berti e Montalto per la KdV e poi generalizzata al caso delle onde d’acqua. Con R. Feola in [25] abbiamo studiato una NLS forzata con due derivate nella nonlinearità, generalizzando  la strategia proposta per la KdV.  In [30] con Feola e Corsi abbiamo quindi studiato una  strategia  generale che permetta di studiare per esempio anche casi autonomi e/o reversibili. Tale approccio, nel caso di una NLS completamente non-lineare permette anche di dimostrare l'esistenza di soluzioni analitiche (per la sua natura la strategia proposta da BBM produce soluzioni con regolarità finita)  con R. Feola [31]. Infine con R. Feola, F. Giuliani e R. Montalto in [33] abbiamo dimostrato la riducibilita' di operatori del prim'ordine su tori di dimensione arbitraria.

Forme Normali: In collaborazione con C. Procesi ho dimostrato l'esistenza di una forma normale approssimata integrabile per la NLS completamente risonante sul toro. Questo risultato non è di natura perturbativa (il cambiamento di coordinate che integra la forma normale non è vicino all'identità) e richiede l'utilizzo contemporaneo di varie metodologie quali calcolo combinatorio, algebra e geometria algebrica. Questo approccio algebrico-combinatorio è un metodo innovativo per studiare in grande dettaglio la cosiddetta  geometria dei siti singolari e quindi costruire delle forme normali integrabili e non degeneri quando le condizioni di Melnikov non sono soddisfatte e quindi le trasformazioni non sono vicine all’identità. Questo è stato il primo risultato di riducibilità non-perturbativa per un sistema infinito dimensionale.

 In [15,14] abbiamo introdotto il metodo e studiato la forma normale, in [18] abbiamo dimostrato la non degenerazione ed infine in [22], [26] abbiamo dimostrato esistenza e stabilità dei tori KAM (generalizzando ulteriormente la classe delle funzioni quasi-Toplitz). Con Maspero, in [32] abbiamo generalizzato tali tecniche per dimostrare  la riducibilita' e un passo di  stabilita' nonlineare delle finite gap solutions unidimensionale nella NLS su T^2. Con Haus, Langella e Maspero ho discusso la stabilita' nonlineare dei tori KAM nella NLS su T^2.

Parallelamente, con Massetti e Biasco,  mi sto interessando anche di problemi di stabilita’ non lineare vicino a zero per la NLS con parametri esterni sul cerchio, qui lo scopo e’ di dare stime di tipo Nekoroshev (esponenziali o subesponenziali w.r.t la taglia del dato iniziale) per i tempi di stabilita’, sia nel caso di dati iniziali analitici che in classe Sobolev.

Crescita delle norme di Sobolev: Un problema duale a quello  della esistenza e stabilità di soluzioni quasi- periodiche è quello di costruire soluzioni instabili in cui si trasferisce energia dai modi di Fourier bassi a quelli alti. Il primo risultato in questa direzione è stato ottenuto dall'I-team per la NLS cubica sul toro bidimensionale. In  [24]  con Haus,  abbiamo generalizzato tale risultato ad una NLS  di grado cinque e poi, in [27], con Haus e Guardia ad una NLS analitica qualsiasi.  Tale generalizzazione richiede tutta una serie di nuove idee nella costruzione  e nello studio del generation set, che è il punto di partenza nel lavoro dell'I-team. In particolare si fa uso di varie tecniche combinatorie introdotte in [15]. In [29] con Haus abbiamo anche studiato soluzioni quasi-periodiche che abbiano un trasferimento ricorrente di energia fra i modi di Fourier. Con Guardia-Hani-Haus e Maspero ho anche studiato fenomeni di instabilità trasversale, cioè il fatto che molte soluzioni della 1d-NLS sono instabili secondo Lyapunov se viste come soluzioni della 2d-NLS.

Soluzioni almost-periodiche: Con Biasco e Massetti, abbiamo studiato il problema della costruzioni di tori infinito dimensionali invarianti per la NLS sul cerchio con parametri esterni. Basandoci su questa equazione modello, gia’ studiata da Bourgain in un caso particolare, abbiamo formulato una strategia "astratta" per la  ricerca di tori invarianti ellittici indipendentemente dalla dimensione che ci permette in particolare di ricavare tutti i (pochi) risultati noti riguardo ai tori massimali. Lo stesso risultato ci permette di dimostrare esistenza e stabilita’ lineare di tori non massimali di dimensione infinita. Estendendo quela linea di pensiero siamo riusciti a costruire soluzioni almost-periodiche deboli, si tratta delle prime soluzioni almost-periodiche di bassa regolarità costruite per una equazione non integrabile. Seguendo un approccio parallelo, basato sulla costruzione diretta di tori invarianti con tecniche diagrammatiche, con Corsi e Gentile ho infine dimostrato l’esistenza di  soluzioni almost-periodiche per una NLS con potenziale di convoluzione arbitrariamente regolare.