GE110 - Geometria 1

Dipartimento di Matematica e Fisica
Università degli studi Roma Tre
Corso di Laurea Triennale in Matematica

Ricevimento studenti:
Contattare per email il docente: cigliola@mat.uniroma3.it


Diario delle lezioni:

 LEZIONE 1 - Martedì 25 Febbraio 2014
Argomenti: Il gruppo abeliano additivo delle matrici rettangolari di tipo \(m\times n\) a coefficienti in un anello
commutativo unitario. L'anello unitario delle matrici quadrate di ordine \(n\) a coefficienti in un anello commutativo
unitario. Calcolo matriciale. Non commutatività del prodotto tra matrici quadrate di ordine superiore a \(2\).
Matrici divisori dello zero.  Matrici nilpotenti. Matrici invertibili. Matrici simmetriche ed antisimmetriche.
Decomposizione simmetrica di matrici quadrate. Sistemi lineari triangolari.

LEZIONE 2 - Mercoledì 26 Febbraio 2014
Argomenti: Matrici scalari. Unità matriciali. Il centro dell'anello delle matrici quadrate a coefficienti in un campo
è costituito dalle matrici scalari. Il gruppo delle matrici quadrate invertibili. Il gruppo delle matrici ortogonali reali.
Sistemi lineari.
Primo foglio di esercizi.


LEZIONE 3 - Lunedì 3 Marzo 2014
Argomenti: Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione a gradini di Gauss-Jordan.
Matrici invertibili. Determinazione dell'inversa di una matrice quadrata per mezzo di operazioni elementari sulle righe. 
Fattorizzazione di matrici invertibili come prodotto di matrici elementari. L'inversa di una matrice diagonale. 
Risoluzione dei sistemi lineari col metodo della matrice inversa.
Secondo foglio di esercizi.


LEZIONE 4 - Mercoledì 5 Marzo 2014
Argomenti: Esempi di spazi vettoriali astratti. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare di \(m\) equazioni
in \(n\) incognite a coefficenti in un campo \(K\) è un sottospazio vettoriale di \(K^n\) se e solo se il sistema
lineare è omogeneo. Generatori di uno spazio vettoriale. Il campo \(\mathbb{C}\) è uno spazio vettoriale su
\(\mathbb{R}\) generato da \(1\) ed \(i\).
Terzo foglio di esercizi.


 LEZIONE 5 - Lunedì 10 Marzo 2014
Argomenti: Sottospazi vettoriali. Caratterizzazione naif di sottoinsiemi che sono sottospazi.
Esempi di sottospazi vettoriali di \(\mathbb{R}^2\), di \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) e di \(\mathbb{R}[x]\).
Dipendenza ed indipendenza lineare. Sottospazio generato da un numero finito di vettori.
Determinazione della base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.


LEZIONE 6 - Mercoledì 12 Marzo 2014
Argomenti: Sottospazi vettoriali: determinazione di basi e dimensione. Metodo degli scarti successivi.
Quarto foglio di esercizi.


LEZIONE 7 - Lunedì 17 Marzo 2014 - Festa Nazionale dell'Unità d'Italia
 Argomenti: Completamento di una base di un sottospazio vettoriale ad una base dello spazio ambiente.
Somma e intersezione di sottospazi vettoriali: basi e dimensione. Formula di Grassmann.
Quinto foglio di esercizi.


LEZIONE 8 - Mercoledì 19 Marzo 2014 - Festa del papà
Argomenti: Somma diretta di sottospazi vettoriali. Complemento diretto di un sottospazio vettoriale.
Il rango di un insieme di vettori. Il rango di una matrice. Proprietà del rango.
Sesto foglio di esercizi.

LEZIONE 9 - Lunedì 24 Marzo 2014 - Giornata della memoria per l'Eccidio delle Fosse Ardeatine
Argomenti: Rango: metodi di calcolo. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi paramterici. Determinanti.
Calcolo esplicito del determinante di una matrice \(3\times 3\). Regola di Sarrus per righe e per colonne.
Metodi di calcolo per i determinanti.
Settimo foglio di esercizi.


PROVA DI PREPARAZIONE AL PRIMO ESONERO - Martedì 25 Marzo 2014
Testo della prova.

 
LEZIONE 10 - Mercoledì 26 Marzo 2014
Argomenti: Esercitazione in preparazione all'esonero.




LEZIONE 11 - Lunedì 7 Aprile 2014
Argomenti: Determinanti. Regola di Laplace. Regola di Cramer. Teorema di Rouchè-Capelli.
Ottavo foglio di esercizi.


LEZIONE 12 - Mercoledì 9 Aprile 2014
Argomenti: Determinante di Vandermonde ed applicazioni al problema dell'interpolazione polinomiale.
Il principio dei minori orlati di Kronecker.
Nono foglio di esercizi.


LEZIONE 13 - Lunedì 14 Aprile 2014
Argomenti: Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.  
Decimo foglio di esercizi.


 LEZIONE 14 - Giovedì 17 Aprile 2014
Argomenti: Spazi affini. Sotttospazi affini. Giacitura di sottospazi affini. Equazioni cartesiane e parametriche
di sottospazi affini. Intersezione di sottospazi affini e formula della dimensione. Rette e piani in \(\mathbb{A}^3(\mathbb R)\).
Undicesimo foglio di esercizi.

LEZIONE 15 - Mercoledì 23 Aprile 2014
Argomenti: Intersezione di sottospazi affini e formula della dimensione.

Dodicesimo foglio di esercizi.


LEZIONE 16 - Lunedì 28 Aprile 2014
Argomenti: Geometria del piano e dello spazio affine. Geometria affine in spazi di dimensione superiore a tre.
Cenni di geometrie non euclidee. La geometria moderna ed il programma di Erlangen di Klein.


LEZIONE 17 - Lunedì 5 Maggio 2014
Argomenti: Geometria del piano e dello spazio affine. Rette sghembe: caratterizzazione della posizione reciproca tra due rette nello spazio.


LEZIONE 18 - Martedì 13 Maggio 2014
Argomenti: Applicazioni lineari. Matrice associata ad un'applicazione lineare. Immagine e nucleo di un 'applicazione lineare.
Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi, automorfismi di spazi vettoriali. Teorema del rango. Teorema di esistenza ed unicità dell'applicazione
lineare definita sui valori assunti su una base.


LEZIONE 19 - Mercoledì 14 Maggio 2014
Argomenti: Spazio duale di uno spazio vettoriale. Spazio vettoriale quoziente modulo un sottospazio. Proiezione su un sottospazio vettoriale.


LEZIONE 20 - Lunedì 19 Maggio 2014
Argomenti: Endomorfismi dello spazio duale di uno spazio vettoriale. L'algebra degli endomorfismi di uno spazio vettoriale. Applicazioni
lineari nilpotenti. Applicazioni lineari invertibili ed automorfismi di uno spazio vettoriale. Sottospazio affine generato da punti.
Sottospazio affine somma di due sottospazi affini. Formula di Grassmann per gli spazi affini.


LEZIONE 21 - Mercoledì 21 Maggio 2014
Argomenti: Polinomio caratteristico. Autovalori. Autovettori. Diagonalizzabilità di matrici ed endomorfismi.



Libri di testo adottati:
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