GEOMETRIA
Facoltà di Ingegneria Civile ed Industriale
Sapienza Università di Roma
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Energetica (orario)
A.A. 2015/2016


AVVISI

- Il corso è terminato. Gli studenti che intendono sostenere l'esame di Geometria negli appelli successivi a Settembre 2015 sono pregati di aggiornarsi sulla pagina del corso 2016/17.

Video sul Teorema di Ruffini.

 
 

Docente:  prof. Antonio Cigliola
Esercitatore/tutor: prof. Cigliola.

Ricevimento studenti
 
Valutazioni da parte degli studenti:           Frequentanti          Non frequentanti

Orario delle lezioni:
Lunedì [eserc.]          12:00 - 13:30     Aula 8
Martedì                     17:30 - 19:00     Aula 14
Mercoledì                  8:30 - 10:00       Aula 15
Giovedì                     17:30 - 19:00      Aula 14
Venerdì                      8:30 - 10:00       Aula 11

Venerdì [eserc.]         15:45 - 17:15     Aula 4

Prequisiti:
Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Goniometria e trigonometria. Geometria Analitica di base. (In generale, sono dati per scontati tutti argomenti del Precorso di Matematica).

Programma di massima del corso:
Logica e algebra: Teoria elementare degli insiemi. Funzioni astratte tra insiemi e proprietà. Principio di Induzione. Gruppi astratti. Anelli di polinomi. 
Algebra lineare: Matrici. Determinanti. Rango. Sistemi lineari. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Autovalori e autovettori.  Diagonalizzazione. Forme bilineari e quadratiche. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Operatori simmetrici. Teorema spettrale. 
Geometria: Geometria affine del piano e dello spazio. Geometria euclidea del piano e dello spazio. Coniche affini ed euclidee. Quadriche euclidee. Geometria proiettiva del piano. Coniche proiettive. Curve algebriche piane.
 
Programma del corso AA 2015-16                Programma 2014/15                    Programma A.A. precedenti
     
Anni Accademici precedenti:
    Pagina del corso A.A. 2014/2015


Riepilogo delle consegne A.A. 2015-2016:
Testi   -    Esiti


Modalità d'esame:
L'esame comprende una prova scritta e di un colloquio orale, entrambi obbligatori ed indipendenti.
La prova scritta consiste in cinque esercizi, più un eventuale esercizio facoltativo. Il primo esercizio è suddiviso in due parti: l'esercizio 1A comprende due domande a risposta secca (2pt risp. esatta, 0 pt risp. non data, -1pt risp. errata), l'esercizio 1B consta di 12 vero-falso (0,5pt risp. esatta, 0 pt risp. non data, -0,25pt risp. errata). Il punteggio del primo esercizio va da -5pt. a 10pt. Gli esercizi 2,3,4, e 5 valgono 6pt ciascuno e possono contenere quesiti pratici o teorici. Il sesto esercizio facoltativo conferisce bonus per il risultato totale. La prova scritta si intende superata se il punteggio totale conseguito nel primo esercizio è strettamente positivo e se la somma dei punteggi dei cinque esercizi (con l'eventuale bonus) è maggiore di 18. Il punteggio finale della prova scritta va da -5/34 a 34/34.
Superata la prova scritta, si ha accesso alla prova orale. Essa consiste di un colloquio orale su argomenti inerenti al corso (discusione sulla prova scritta, dimostrazione e applicazione di enunciati studiati a lezione, svolgimento di esercizi, presentazione di modelli di quadriche rigate, presentazione degli esercizi consegnati durante il corso) al termine della quale si stabilisce l'esito finale dell'esame.
La prova scritta di Gennaio dà la possibilità di sostenere la prova orale esclusivamente a Gennaio o a Febbraio. La prova scritta di Giugno dà la possibilità di sostenere la prova orale esclusivamente a Giugno o a Luglio.
A discrezione del docente, potranno essere ammesse con riserva all'orale prove scritte quasi sufficienti (16-17/34).
Un esito finale negativo annulla ogni prova, scritta o orale, già sostenuta.
La votazione finale non potrà essere in ogni caso inferiore a 18 né superiore a 30 e lode.
 
Tracce d'esame:
 
Esame del 18 Gennaio 2016:          Prova 1          Prova 2        Prova 3           Prova 4          Prova A.A.14/15           Prova A.A. precedenti

 
Esame del 18 Febbraio 2016:         Prova 1          Prova 2        Prova 3           Prova 4          Prova A.A.14/15           Prova A.A. precedenti

Esame del 30 Marzo 2016:             Prova 1          Prova 2        Prova A.A. 2014/2015          Prova A.A. precedenti

Esame del 20 Giugno 2016:            Prova 1         Prova 2         Prova A.A. 2014/2015

Esame del 17 Luglio 2016:             Prova 1          Prova 2         Prova A.A. 2014/15

Esame del 12 Settembre 2016:       Prova 1         Prova 2         Prova A.A. 2014/2015

Materiale didattico consigliato:
È possibile utilizzare un qualsiasi manuale di algebra lineare e geometria (Vaccaro-Piccolella, Anichini-Conti, Capparelli-Del Frà ecc.)

DIARIO DELLE LEZIONI:


LEZIONE 1

Argomenti: Esercitazione di introduzione: risoluzione elementare di sistemi lineari, metodo di riduzione di Gauss-Jordan (cenni).

LEZIONE 2

Argomenti: Presentazione del corso. L'insieme \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\) delle matrici di tipo \(m\times n\) a coefficienti reali. Notazioni e nomenclatura.Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla. L'insieme \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) delle matrici quadrate di ordine \(n\) a coefficienti reali. Matrici diagonali. Matrice identica di ordine \(n\). Trasposta di una matrice. Principio di identità tra matrici. Somma di matrici dello stesso tipo. Definizione astratta di gruppo. Esempi di gruppi additivi e moltiplicativi. La struttura \((\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}),+)\) è un gruppo abeliano: l'addizione tra matrici è associativa e commutativa, la matrice nulla è l'elemento neutro rispetto alla somma, ogni matrice ha la sua matrice opposta.

LEZIONE 3
Argomenti: Moltiplicazione di un numero reale per una matrice: proprietà fondamentali. L'operazione di trasposizione conserva la somma tra matrici e il prodottto di un numero reale con una matrice. Matrici simmetriche ed antisimmetriche: proprietà. L'unica matrice sia simmetrica che antisimmetrica è la matrice nulla. Teorema di decomposizione unica in parte simmetrica ed antisimmetrica: ogni matrice quadrata può essere scritta in maniera unica come somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica. Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna. Prodotto riga per colonna di matrici.

LEZIONE 4
Argomenti:
Prodotto riga per colonna di matrici. In generale il prodotto riga per colonna non è commutativo. Proprietà del prodotto riga per colonna. Prese due matrici \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\) e \(B\in M_{n,p}(\mathbb{R})\), allora \((AB)^T=B^TA^T\). La matrice identica è l'elemento neutro del prodotto. I prodotti notevoli non valgono in generale per le matrici a causa della non commutatività del prodotto riga per colonna. La legge di annullamento del prodotto non vale per le matrici. Matrici quadrate invertibili. Prese due matrici invertibili \(A\) e \(B\), anche la matrice \(AB\) è invertibile e si ha che \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). Il gruppo lineare reale di ordine \(n\) delle matrici invertibili, \(GL_n(\mathbb{R})\). L'insieme \(\mathbb{R}^n\) delle \(n\)-uple ordinate di numeri reali. Combinazioni lineari di vettori riga e vettori colonna.Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Esercizi Foglio n.1: Calcolo matriciale.
Esercizi Foglio n.2: Combinazioni lineari.

LEZIONE 5
Argomenti:
Esercitazione: calcolo matriciale, vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Principio di induzione: esempi ed applicazioni al calcolo matriciale. Un vettore riga (o colonna) è linearmente dipendente se e solo se è nullo. Due vettori riga (o colonna) sono linearmente dipendenti se e solo se uno dei due è multiplo dell'altro. Se in un insieme di vettori riga (o colonna) uno di essi è il vettore nullo, allora i vettori sono linearmente dipendenti. Se in un insieme di vettori riga (o colonna) due di essi sono uguali, allora i vettori sono linearmente dipendenti. Dei vettori (riga o colonna) sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli altri.

LEZIONE 6
Argomenti:
Determinanti di matrici quadrati di ordine \(1\) e \(2\).  Sottomatrici complementari. Complementi algebrici. Determinanti. Sviluppo del determinante rispetto alla prima riga. Teorema di Laplace: il determinante di una matrice può essere calcolato sviluppandolo rispetto ad una qualsiasi riga o una qualsiasi colonna. Proprietà dei determinanti: \(\textrm{det}(0_n)=0\),  \(\textrm{det}(I_n)=1\) e \(\textrm{det}(A^T)=\textrm{det}(A)\). Se una matrice ha una riga (o una colonna) nulla, il suo determinante è zero. Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi che sono sulla diagonale. Se in una matrice si moltiplica una riga (o una colonna) per uno scalare, il determinante della matrice resta moltiplicato per lo stesso scalare. Il determinante è lineare per righe (o per colonne). Il determinante non si distribuisce rispetto alla somma di matrici. Scambiando due righe (o due colonne) in una matrice, il determinante cambia segno. Se una matrice ha due righe uguali (o due colonne uguali), il suo determinante è nullo. Se una matrice ha due righe (o due colonne) proporzionali, il suo determinante è nullo. Sommando ad una riga (o una colonna) di una matrice una combinazione lineare delle altre, il determinante non cambia. Se in una matrice le righe (o le colonne) sono linearmente dipendenti, il determinante è nullo.
Esercizi Foglio n.3: Determinanti.

LEZIONE 7
Argomenti:
Esercitazione: calcolo di determinanti. Teorema di Binet: prese \(A\) e \(B\) due matrici quadrate dello stesso ordine, allora \(\textrm{det}(AB)=\textrm{det}A \ \textrm{det}B\). Matrici invertibili. Teorema della matrice inversa: una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. In particolare, l'inversa di una matrice è data da \(A^{-1}=\frac{1}{\textrm{det}A}(A^*)^T\), dove \(A^*\) è la matrice aggiunta di \(A\) (la matrice che ha per entrate, ordinatamente, i complementi algebrici degli elementi della matrice \(A\)). Esempi di calcolo di matrici inverse. Sottomatrici e minori di una matrice. Rango di una matrice. Una matrice ha rango zero se e solo se è la matrice nulla.

LEZIONE 8

Argomenti: Il rango di una matrice \(A\) vale \(r\) se e solo se la matrice contiene un minore non nullo di ordine \(r\) e tutti i monori di \(A\) di ordine \(r+1\) sono nulli. Minori orlati. Teorema di Kronecker: il rango di una matrice vale \(r\) se e solo se la matrice contiene un minore non nullo di ordine \(r\) e tutti i suoi orlati di ordine \(r+1\) sono nulli. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo. Equazioni lineari in una o più incognite. Equazioni lineari determinate, indeterminate e impossibili. Soluzione di un'equazione lineare. Sistemi lineari di tipo \(m\times n\) a coefficienti reali (con \(m\) equazioni ed \(n\) incognite). Soluzione di un sistema lineare. Sistemi determinati, indeterminati, impossibili. Scrittura compatta di un sistema lineare: un sistema lineare si scrive nella forma \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\), dove \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\) è la matrice dei coefficienti, \(\mathbf{b}\in \mathbb{R}^m\) è la colonna dei termini noti e \(\mathbf{X}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T\) la colonna delle indeterminate. Sistemi omogenei.
Esercizi Foglio n.4: Matrice inversa
Esercizi Foglio n.5: Rango

LEZIONE 9
Argomenti:
Calcolo di determinanti di ordine \(3\) con la regola di Sarrus. Un sistema omogeneo non è mai impossibile, ammette sempre la soluzione banale; inoltre, se ammette una soluzione non banale, ne ammette infinite. Le soluzioni di un sistema non omogeneo sono date dalla somma di una (data) soluzione particolare e di una qualsiasi soluzione del sistema omogeneo associato. Un sistema lineare ammette una, nessuna o infinite soluzioni. Sistemi lineari quadrati di ordine \(n\). Sistemi lineari crameriani. Teorema di Cramer: un sistema lineare quadrato con matrice dei coefficienti \(A\) è determinato se e solo se \(\textrm{det}A\neq0\). Calcolo della matrice inversa col metodo di Cramer. Risoluzione di un sistema crameriano col metodo della matrice inversa. Regola di Cramer per la risoluzione di un sistema crameriano.

LEZIONE 10
Argomenti:
Un sistema lineare omogeneo quadrato con matrice dei coefficienti \(A\) è indeterminato se e solo se \(\textrm{det}A=0\). Una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se le colonne (o le righe) di \(A\) sono linearmente indipendenti. Una matrice \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\)  ha rango \(r\) se e solo se in \(A\) esistono \(r\) righe (o colonne) linearmente indipendenti e se \(r+1\) righe (o colonne) sono linearmente dipendenti. In una matrice \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\)  il rango indica il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Sistemi compatibili ed incompatibili. Teorema di Kronecker-Rouché-Capelli: un sistema lineare  \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\) è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta del sistema \(A\) e il rango della matrice completa del sistema \((A|\mathbf{b})\) sono uguali. In tal caso, detto il rango \(r\), il sistema è determinato se \(n=r\), è invece indeterminato con \(\infty^{n-r}\) soluzioni, se \(r<n\).

LEZIONE 11
Argomenti:
Esercitazione: Risoluzione di sistemi lineari numerici e parametrici.

LEZIONE 12
Argomenti:
Un insieme di vettori di \(\mathbb{R}^n\) contiene al più \(n\) vettori linearmente indipendenti. Presi \(n\) vettori di \(\mathbb{R}^n\), questi sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice che li ha per righe (o colonne) ha determinante non nullo. Spazi vettoriali reali. Esempi di spazi vettoriali: \( M_{m,n}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}^n\). Frecce orientate. Un vettore applicato è individuato da un punto di applicazione, una direzione, un verso ed un modulo. L'insieme dei vettori geometrici applicati nel piano. Vettori geometrici liberi. Operazioni con i vettori geometrici: somma e moltiplicazione con scalare reale. Vettore nullo. Vettori equipollenti. Somma di due vettori (con la regola del parallelogramma o della poligonale) e moltiplicazione con scalare. Lo spazio vettoriale reale dei vettori geometrici liberi: \(\mathcal{V}^2\). Lo spazio vettoriale reale \(\mathbb{R}[x]\) dei polinomi a coefficienti reali nell'indeterminata \(x\). Principio di identità tra polinomi. Grado di un polinomio. Il polinomio nullo non ha grado definito. Grado della somma e del prodotto di polinomi. Lo spazio vettoriale reale \(\mathbb{R}^{[a,b]}\) delle funzioni a valori reali con dominio \([a,b]\). Principio di identità tra funzioni. Operazioni tra funzioni: somma e moltiplicazione con scalare reale definite puntualmente. In uno spazio vettoriale \(V\) il vettore nullo \(\mathbf{0}_V\) è unico; il simmetrico di un vettore \(v\in V\) è unico e lo si indica con \(-v\), detto l'opposto di \(v\). Legge di annullamento del prodotto negli spazi vettoriali: presi \(\lambda\in\mathbb{R}\) e \(v\in V\), si ha che \(\lambda v=\mathbf{0}_V\) se e solo se \(\lambda=0_{\mathbb{R}}\) oppure \(v=\mathbf{0}_V\).
Esercizi Foglio n.6: Sistemi lineari

LEZIONE 13
Argomenti:
Preso un vettore un vettore \(v\) di uno spazio vettoriale \(V\), si ha che \((-1)v=-v\). Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Un vettore è linearmente dipendente se e solo se è nullo. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali. Dei vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti. Se in un insieme di vettori alcuni di essi sono linearmente dipendenti, allora tutti sono linearmente dipendenti. Sottospazi vettoriali. Dato lo spazio vettoriale \(V\), gli insiemi \(\{\mathbf{0}_V\}\) e \(V\) sono sottospazi vettoriali di \(V\). Un sottospazio vettoriale contiene necessariamente il vettore nullo. Esempi di sottospazi vettoriali: matrici quadrate simmetriche \(Sym_n(\mathbb{R})\), antisimmetriche \(ASym_n(\mathbb{R})\) e diagonali \(Diag_n(\mathbb{R})\). L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare di tipo \(m\times n\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^n\) se e solo se il sistema è omogeneo. Sia \(V\) uno spazio vettoriale e siano \(v_1,\ v_2,\,\dots, v_n\) vettori di \(V\), allora il sottoinsieme delle combinazioni lineari dei \(v_i\) è un sottospazio vettoriale di \(V\); esso è chiamato il sottospazio generato dai \(v_i\) ed è indicato con \(\mathcal{L}(v_1,\ v_2,\,\dots, v_n)\). Retta vettoriale e piano vettoriale. Tre vettori di \(\mathcal{V}^2\) sono sempre linearmente dipendenti.
Esercizi Foglio n.7: Lineare indipendenza.
Esercizi Foglio n.8: Sottospazi vettoriali.

LEZIONE 14
Argomenti:
L'insieme \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) dei polinomi di grado al più \(n\) con il polinomio nullo è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}[x]\). Spazi vettoriali finitamente generati. Lo spazio \(\mathbb{R}[x]\) non è finitamente generato. Gli spazi \(\mathbb{R}^n\) e \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) sono finitamente generati. Dato \(V\) uno spazio vettoriale e \(v_1, v_2,\,\dots, v_n\) vettori di \(V\), preso \(w\in\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\), allora si ha \(\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n, w)=\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\). Similmente, se \(w_1,w_2, \dots, w_m\in\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\), allora \(\mathcal{L}(v_1, \dots, v_n, w_1, w_2, \dots, w_m)=\mathcal{L}(v_1,\dots, v_n)\). Dati i vettori \(v_1, v_2,\,\dots, v_n\) linearmente indipendenti di \(V\), preso \(w\not\in\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\), allora i vettori \(v_1, v_2,\,\dots, v_n, w\) sono linearmente indipendenti. Una base di uno spazio vettoriale finitamente generato è un sistema di generatori linearmente indipendenti. Basi canoniche di \(\mathbb{R}^n\),  \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) e \(M_{m,n}(\mathbb{R})\). I vettori \(v_1, v_2,\,\dots, v_n\) sono una base di \(V\) se e solo se ogni vettore di \(V\) si scrive in maniera unica come combinazione lineare di \(v_1, v_2,\,\dots, v_n\). Le due condizioni per definire una base sono indipendenti (e vanno verificate entrambe).

LEZIONE 15
Argomenti:
Metodo degli scarti successivi: ogni spazio vettoriale non banale finitamente generato ha almeno una base. Dato uno spazio vettoriale non finitamente generato \(V\), i vettori \(v_1,\,v_2,\,\dots,\,v_n,\,\dots\) costituiscono una base di \(V\) se sono generatori di \(V\) e comunque scelti un numero finito tra di essi, questi risultano linearmente indipendenti. Una base di \(\mathbb{R}[x]\) è data \(\left\{1,\,x,\,x^2,\,\dots,\,x^n,\,\dots\right\}\).
Lemma di Steinitz: se \(\{v_1, v_2,\dots, v_n\}\) è una base di \(V\) e \(w_1, w_2, \dots, w_m\) sono \(m>n\) vettori di \(V\) allora i \(w_i\) sono linearmente dipendenti. Lemma di scambio: se in una base si sostituisce un vettore con la somma di questo vettore più una combinazione lineare dei vettori rimanenti, si ottiene una nuova base. Tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generato hanno la stessa cardinalità che è detta la dimensione di \(V\) e si indica \(\dim V\). La dimensione di \(V\) indica il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che si possono trovare in \(V\). La dimensione di \(V\) indica il numero minimo di generatori di \(V\). Teorema del completamento della base: Sia \(\{v_1, v_2,\dots, v_n\}\) una base di \(V\) e siano \(w_1, w_2, \dots, w_m\), con \(m<n\), vettori linearmente indipendenti  di \(V\); allora è possibile scegliere \(n-m\) vettori \(v'_1, v'_2, \dots, v'_{n-m}\) tra i \(v_i\) tali che  \(\{w_1, w_2,\dots, w_m, v'_1, \dots, v'_{n-m}\}\) sia una base di \(V\). Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(n\), allora \(\{v_1, v_2,\dots, v_n\}\) è una base di \(V\) se e solo se \(v_1, v_2,\dots, v_n\) sono linearmente indipendenti, se e solo se \(v_1, v_2,\dots, v_n\) sono generatori di \(V\).
Esercizi Foglio n.9: Basi di spazi vettoriali.

LEZIONE 16
Argomenti:
Esercitazione: Calcolo matriciale, rango, determinanti, sistemi lineari.

LEZIONE 17
Argomenti:
Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Operazioni tra vettori in termini delle loro componenti rispetto ad una base. Siano \(w_1,w_2,\dots,w_m\) vettori di uno spazio vettoriale \( V\) di dimensione \(n\) e sia \(\mathcal B\) una base di \(V\). Sia \(A\in M_{m,n}(\mathbb R)\) la matrice che ha per righe le coordinate dei \(w_i\) rispetto a \(\mathcal B\). Allora \(\textrm{rk} A=r\) indica il massimo numero di vettori linearmente indipendenti tra i \(w_i\) ed \(r\) vettori linearmente indipendenti sono quelli corrispondenti alle righe di un qualsiasi minore non nullo di \(A\) di ordine \(r\). Inoltre, i \(w_i\) sono linearmente indipendenti se e solo se \(\textrm{rk} A=m\). Siano \(\mathcal B\) e \(\mathcal B'\) basi di uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita; la matrice di passaggio da \(\mathcal B\) a \(\mathcal B'\) è la matrice che si ottiene scrivendo in colonna ordinatamente le coordinate dei vettori di \(\mathcal B'\) in funzione di quelli di \(\mathcal B\). Teorema del cambiamento di coordinate nel passaggio da una base ad un'altra: siano \(P\) la matrice di passaggio dalla base \(\mathcal B\) alla base \(\mathcal B'\), \(P'\) la matrice di passaggio dalla base \(\mathcal B'\) alla base \(\mathcal B\), \(X\) la colonna delle coordinate di un vettore \(v\in V\) rispetto alla base \(\mathcal B\) e \(X'\) la colonna delle coordinate di \(v\) rispetto alla base \(\mathcal B'\), allora si ha che \(P'=P^{-1}\), \(X'=P^{-1}X\) e infine \(X=PX'\).

LEZIONE 18
Argomenti:
Esercitazione: Basi e dimensione di sottospazi vettoriali.

LEZIONE 19
Argomenti:
Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione finita e \(W\) è un sottospazio di \(V\) allora \(\textrm{dim}W\leqslant\textrm{dim}V\). Inoltre \(\textrm{dim}W=\textrm{dim}V\) se e solo se \(W=V\). Equazioni cartesiane e parametriche di un sottospazio vettoriale. Il numero di parametri necessari per dare le equazioni parametriche di \(W\) è uguale alla dimensione di \(W\). Se \(n=\textrm{dim}V\), il numero minimo di equazioni cartesiane per descrivere \(W\) è detto codimensione di \(W\) e \(\textrm{codim}W=n-\textrm{dim}W\). In particolare, per ogni sottospazio vettoriale \(W\) si ha \(n=\textrm{dim}W+\textrm{codim}W\). L'intersezione di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale. In generale, l'unione di due sottospazi vettoriali non è un sottospazio vettoriale.

LEZIONE 20
Argomenti:
La somma di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale ed è il più piccolo contenente l'unione dei due sottospazi. Un sistema di generatori per la somma dei sottospazi \(U\) e \(W\) è dato dall'unione di una base di \(U\) e una base di \(W\); per ottenere una base va poi applicato il metodo degli scarti successivi. Equazioni cartesiane di \(U\cap W\) sono date dal sistema contenente equazioni cartesiane di \(U\) e di \(W\). Teorema di Grassmann: Se \(U\) e \(W\) sono sottospazi vettoriali di dimensione finita di uno spazio vettoriale, allora vale la formula di Grassmann \(\textrm{dim}(U+W)+\textrm{dim}(U\cap W)=\textrm{dim}U+\textrm{dim}W\). Dati due sottospazi \(U\) e \(W\) si ha che \(U+W=U\) se e solo se \(U\cap W=W\) se e solo se \(W\subseteq U\). Somma diretta di due sottospazi. Formula di Grassmann per la somma diretta: \(\textrm{dim}(U\oplus W)=\textrm{dim}U+\textrm{dim}W\). Sottospazi complementari. In uno spazio vettoriale finitamente generato ogni sottospazio ammette un complemento diretto (che non è unico in generale). Teorema della somma diretta: dati \(U\) e \(W\) sottospazi vettoriali, si ha che \(U\) e \(W\) sono a somma diretta se e solo se ogni vettore di \(U+W\) si scrive in maniera unica come somma di un vettore di \(U\) e di un vettore di \(W\). Siano \(T\), \(U\) e \(W\) sottospazi vettoriali, siano \(\mathcal {B}_U=\{u_1,\dots, u_m\}\) una base di \(U\) e \(\mathcal {B}_W=\{w_1,\dots, w_l\}\) una base di \(W\), allora \(T=U\oplus W\) se e solo se \(\{u_1,\dots, u_m,w_1,\dots,w_l\}\) è una base di \(T\).
Esercizi Foglio n.10: Somma e intersezione di sottospazi vettoriali.

LEZIONE 21
Argomenti:
Geometria nel piano affine \(\mathbb A^2(\mathbb R)\). Richiami sui vettori applicati e liberi nel piano, equipollenza, lo spazio vettoriale bidimensionale \(\mathcal{V}^2\) dei vettori liberi del piano. Quinto postulato di Euclide. Prima proprietà fondamentale degli spazi affini: dato un vettore \(\stackrel{\longrightarrow}{AB}\) ed un punto \(C\) nel piano, esiste ed è unico il punto \(D\) tale che \(\stackrel{\longrightarrow}{AB}\) e \(\stackrel{\longrightarrow}{CD}\) siano equipollenti. Seconda proprietà fondamentale degli spazi affini: presi tre punti \(O,P,Q\) nel piano si ha \(\stackrel{\longrightarrow}{OP}+\stackrel{\longrightarrow}{PQ}=\stackrel{\longrightarrow}{OQ}\), detta identità di Chasles. Sistemi di riferimento affine nel piano. Coordinate affini di punti e vettori nel piano. Operazioni tra vettori in termini di coordinate. Presi due punti del piano \(A\) e \(B\), le coordinate del vettore \(\stackrel{\longrightarrow}{AB}\) sono date dalla differenza delle coordinate del punto finale \(B\) meno quelle del punto di applicazione \(A\); più in generale si ha che \(\stackrel{\longrightarrow}{AB}=v\) se e solo se \(B=A+v\) . Una retta nel piano è univocamente individuata da un suo punto e da un vettore ad essa parallelo. Vettore direzionale e parametri direttori di una retta. Equazione vettoriale di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0\in r\) ed un vettore direzionale \({v}\) di \(r\), allora un punto \(P\) del piano appartiene ad \(r\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}\), per qualche \(t\in \mathbb R\). Equazioni parametriche di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0(x_0,\,y_0)\in r\) ed un vettore direzionale \({v}(l,\,m)\) di \(r\), allora equazioni parametriche di \(r\) sono date da \(\begin{cases}x=x_0+l\,t\\y=y_0+m\,t   \end{cases}\). Equazione cartesiana di una retta: una retta nel piano è rappresentata da un'equazione del tipo \(ax+by+c=0\), con \(a\) e \(b\) non contemporaneamente nulli, e viceversa, ogni equazione di questo tipo ha per grafico nel piano una retta. La retta di equazione \(ax+by+c=0\) ha per vettore direzionale il vettore \((-b,a)\). Dati \(P_1(x_1,y_1)\) e \(P_2(x_2,y_2)\) due punti distinti del piano, la retta che li congiunge ha equazioni parametriche date da \(\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)\,t\\y=y_1+(y_2-y_1)\,t\end{cases}\) ed equazione cartesiana data da \(\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1\\x_2-x_1&y_2-y_1\end{vmatrix}=0\). Condizione di allineamento di tre punti. Rette parallele, rette coincidenti, rette parallele e distinte, rette incidenti. Posizione reciproca di due rette nel piano: siano date due rette \(r:\ ax+by+c=0\) e \(r':\ a'x+b'y+c'=0\), allora \(r\|r'\) se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=1\); in particolare sono parallele e coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=1\), sono parallele e distinte se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=1\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\); infine \(r\) ed \(r'\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\)
Esercizi Foglio n.11: Piano affine.


LEZIONE 22
Argomenti:
Data la retta \(r:\ ax+by+c=0\), un vettore direzionale di \(r\) è il vettore \(v_r=(-b,\,a)\). Esempi di geoemtria piana affine. Vettori geometrici nello spazio. L'insieme \(\mathcal V^3\) dei vettori liberi dello spazio fisico è uno spazio vettoriale con le usuali operazioni tra frecce orientate. Richiami sulle proprietà elementari dello spazio euclideo tridimensionale. Punti allineati e punti complanari. Vettori allineati e vettori complanari. Tre vettori di \(\mathcal V^3\) sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari. Lo spazio \(\mathcal V_O^3\) ha dimensione tre. Lo spazio affine tridimensionale \(\mathbb A^3(\mathbb R)\). Sistema di riferimento affine e coordinate affini nello spazio. Coordinate di vettori liberi ed applicati. Identità di Chasles nello spazio. Equazione vettoriale di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0\in r\) ed un vettore direzionale \({v}\) di \(r\), allora un punto \(P\) del piano appartiene ad \(r\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}\), per qualche \(t\in \mathbb R\). Equazioni paramtriche di una retta: una retta parallela al vettore \( v=(l,m,n)\) e passante per il punto \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) ha equazioni parametriche  \(\begin{cases}x=x_0+l\,t\\y=y_0+m\,t\\z=z_0+n\,t   \end{cases}\). Condizioni operative per l'allineamento di tre punti e per la complanarità di quattro punti. Equazione vettoriale di un piano: dato un piano \(\pi\), un punto \(P_0\in \pi\) e due vettori non linearmente indipendenti \(v\) e \(w\) \({v}\) paralleli a \(\pi\), allora un punto \(P\) appartiene a \(\pi\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}+t'\,w\), per qualche \(t,\,t'\in \mathbb R\). Equazioni parametriche di un piano: il piano parallelo ai vettori \( v=(l,m,n)\) e \( w=(l',m',n')\) e passante per il punto \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) ha equazioni parametriche  \(\begin{cases}x=x_0+l\,t+l\,t'\\y=y_0+m\,t+m\,t'\\z=z_0+n\,t+n\,t'\end{cases}\). Siano dati  \(P_1(x_1,y_1,z_1)\), \(P_2(x_2,y_2,z_2)\) e  \(P_3(x_3,y_3,z_3)\) tre punti non allineati dello spazio; il piano che li contiene ha equazioni parametriche date da \(\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)\,t+(x_3-x_1)\,t'\\y=y_1+(y_2-y_1)\,t+(y_3-y_1)\,t'\\z=z_1+(z_2-z_1)\,t+(z_3-z_1)\,t'\end{cases}\).

LEZIONE 23
Argomenti:
Esercitazione: Somma e intersezione di sottospazi. Matrici di passaggio e cambiamento di coordinate.

LEZIONE 24
Argomenti:
Due rette sono parallele se e solo se hanno vettori direzionali proporzionali. Rette parallele sono complanari. Rette incidenti sono complanari. Equazioni parametriche del piano parallelo a due rette date e passante per un punto dato. Tutti e soli i piani dello spazio sono rappresentati da un'equazione del tipo \(ax+by+cz+d=0\), con \(a,b,c\) non contemporaneamente nulli. Rappresentazione grafica di piani. Piani coincidenti, piani paralleli e distinti, piani incidenti. Teorema di classificazione delle posizioni reciproche di due piani nello spazio: siano dati due piani \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\) e \(\pi':\ a'x+b'y+c'z+d'=0\); allora \(\pi\) e \(\pi'\) sono paralleli e distinti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=1\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}=2\); \(\pi\) e \(\pi'\) sono coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}=1\); \(\pi\) e \(\pi'\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\). Equazioni cartesiane di una retta nello spazio: tutte e sole le rette dello spazio sono definite da un sistema lineare di due equazioni in tre indeterminate del tipo \(\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\), con \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\). Teorema di classificazione delle posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio: dati un piano  \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\) ed una retta \(r:\ \begin{cases}a'x+b'y+c'z+d'=0\\ a''x+b''y+c''z+d''=0\end{cases}\), si ha che \(r\) e \(\pi\) sono propriamente paralleli se e solo se \(\textrm{det}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{pmatrix}=0\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\end{pmatrix}=3\); si ha che \(r\subset\pi\) se e solo se  \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\end{pmatrix}=2\); risulta che \(r\) e \(\pi\) sono incidenti (in un solo punto) se e solo se \(\textrm{det}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{pmatrix}\neq0\).  Sottospazi affini. I sottospazi affini di \(\mathbb A^3(\mathbb R)\) sono i punti, le rette e i piani che hanno dimensione rispettivamente 0, 1 e 2. Dati due sottospazi affini \(S\) e \(T\), il sottospazio \(S+T\), detto sottosapzio congiungente, è il più piccolo sottospazio affine che li contiene entrambi. Il sottospazio che congiunge due punti è la retta che passa per essi; il sottospazio congiungente una retta ed un punto esterno è il piano che contiene entrambi; il sottospazio congiungente due rette incidenti o parallelele e distinte è il piano che le contiene; lo spazio congiungente una retta ed un piano incidenti o propriamente paralleli è tutto lo spazio \(\mathbb A^3(\mathbb R)\). Formula di Grassmann affine: dati due sottospazi affini \(S\) e \(T\) tali che \(S\cap T\neq\emptyset\) allora vale la formula \(\textrm{dim}\,S+\textrm{dim}\,T=\textrm{dim}(S\cap T)+\textrm{dim}(S+T)\). La formula di Grassmann perde significato nel caso in cui i sottospazi \(S\) e \(T\) sono disgiunti. Due piani se si intersecano, hanno almeno una retta in comune.

LEZIONE 25
Argomenti:
I piani paralleli in senso lato si distinguono in piani (propriamente) paralleli e piani (paralleli e) coincidenti. Dato il piano \(\pi: \ ax+by+cz+d=0\), il vettore \(v=(a,b,c)\) è detto vettore di giacitura di \(\pi\) e i coefficienti \(a,\,b,\,c\) sono detti parametri giacitura. Piani paralleli hanno, a meno di un fattore moltiplicativo non nullo, gli stessi parametri di giacitura. Parametri direttori di una retta in termini dei minori di ordine due della matrice incompleta del sistema che la definisce. Un piano di giacitura \((a,b,c)\) ed una retta di parametri direttori \((l,m,n)\) sono paralleli se e solo se \(al+bm+cn=0\).  Rette sghembe. Teorema di classificazione delle posizioni reciproche di due rette nello spazio: date due rette \(r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\) e \(s:\ \begin{cases}a''x+b''y+c''z+d''=0\\ a'''x+b'''y+c'''z+d'''=0\end{cases}\) e prese le matrici \(A= \begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\\a'''&b'''&c'''\end{pmatrix}\) e \(B= \begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\\a'''&b'''&c'''&d'''\end{pmatrix}\), si ha che \(r\) e \(s\) sono sghembe se e solo se \(\textrm{det}B\neq0\),  \(r\) e \(s\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}B=\textrm{rk}A=3\), \(r\) e \(s\) sono parallele se e solo se \(\textrm{rk}B=3\) e \(\textrm{rk}A=2\), \(r\) e \(s\) sono coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}B=2\).
Esercizi Foglio n.12: Spazio affine.

LEZIONE 26
Argomenti:
Applicazioni tra insiemi. Applicazione costante. Insieme immagine \(\textrm{Im}f\) di un'applicazione \(f\). Immagine diretta di un sottoinsieme del dominio. Controimmagine di un elemento e di  un sottoinsieme dell'insieme di arrivo. Applicazioni iniettive, suriettive e biettive tra insiemi. Esempi. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) è tale che \(F(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_W\) e \(F(-v)=-F(v)\), per ogni \(v\in V\). Le applicazioni lineari conservano le combinazioni lineari: data un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) e il vettore \(v=\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_k v_k\), allora \(F(v)=\lambda_1 F(v_1)+\dots+\lambda_k F(v_k)\). Due applicazioni lineari sono uguali se e solo se assumono gli stessi valori sui vettori di una base dello spazio di partenza.  Teorema fondamentale di esistenza e unicità dell'applicazione lineare definita dai valori assunti sui vettori di una base (o teorema di estensione): dati gli spazi vettoriali \(V\) e \(W\), con \(V\) finitamente generato, presi \(\{v_1,\dots, v_n\}\) una base di \(V\) e \(\{w_1,\dots,w_n\}\) un sottinsieme di vettori qualsiasi di \(W\), allora esiste ed è unica l'applicazione lineare \(F:V\rightarrow W\) tale che \(F(v_1)=w_1,\,\dots,\,F(v_n)=w_n\). Insieme immagine di un'applicazione lineare. Se \(F:\ V\rightarrow W\) è un'applicazione lineare, allora \(\textrm{Im} F\) è un sottospazio vettoriale di \(W\); inoltre se \(V\) è finitamente generato ed ha dimensione \(n\) allora \(\textrm{dim Im}F\leqslant n\)
e se \(\{v_1,\dots, v_n\}\) è una base di \(V\), allora \(\{F(v_1),\,\dots,\,F(v_n)\}\) è un sistema di generatori di \(\textrm{Im} F\).

LEZIONE 27
Argomenti:
Esempi di applicazione del teorema di estensione, di calcolo della controimmagine e dell'immagine di vettori. L'immagine diretta di un sottospazio del dominio sotto un'applicazione lineare è un sottospazio dell'insieme d'arrivo. Controimmagine di un vettore. In generale la controimmagine di un vettore non è un sottospazio vettoriale del dominio. Nucleo di un'applicazione lineare. Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è banale. Teorema del rango: siano \(V\) e \(W\) spazi vettoriali, con \(V\) finitamente generato, e sia \(F:\ V\rightarrow W\) un'applicazione lineare, allora vale la formula della dimensione: \(\textrm{dim}V=\textrm{dim Im}(F)+\textrm{dim Ker}(F)\)  Omomorfismi, monomorfismi, epimorfismi, endomorfismi, automorfismi di spazi vettoriali.
Esercizi Foglio n.13: Applicazioni lineari.

LEZIONE 28
Argomenti:
Esercitazione: piano affine e spazio affine.

LEZIONE 29
Argomenti:
Esercitazione: applicazioni lineari, nucleo, immagine, teorema fondamentale di estensione.

LEZIONE 30
Argomenti:
Data l'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) tra due spazi vettoriali finitamente generati, si ha che \(F\) è iniettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}V\), \(F\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}W\), infine \(F\) è biettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}W=\textrm{dim}W\). Sia \(F:\ V\rightarrow W\) un'applicazione lineare e sia \(\textrm{dim}V=\textrm{dim}W\), allora \(F\) è iniettiva se e solo se \(F\) è suriettiva, se e solo se \(F\) è biettiva. Sia \(F: V\longrightarrow W\) un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita, se \(\textrm{dim}V>\textrm{dim}W\) allora \(F\) non può essere iniettiva, se invece \(\textrm{dim}W>\textrm{dim}V\) allora \(F\) non può essere suriettiva. Matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a due basi. Formule di calcolo in termini di coordinate e matrice associata. Sia data un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) e sia \(A\) una matrice associata ad \(F\), allora \(\textrm{codim Ker}F=\textrm{dim Im}F=\textrm{rk}A\). Sia data l'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) tra due spazi vettoriali finitamente generati e sia \(A\) una matrice associata ad \(F\), si ha che \(F\) è iniettiva se e solo se \(\textrm{rk}A=\textrm{dim}V\), \(F\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{rk}A=\textrm{dim}W\). Due spazi vettoriali finitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione \(n\) sono isomorfi ad \(\mathbb{R}^n\). Considerazioni sul significato del concetto di isomorfismo.

LEZIONE 31
Argomenti:
Equazioni di una applicazione lineare ed equazione matriciale. Composizione di applicazioni. La composizione di applicazioni lineari è un'applicazione lineare. Teorema di composizione operatoria: date le applicazioni tra spazi vettoriali f.g. \(F:\ V\rightarrow W\) e  \(G:\ W\rightarrow U\) con matrici associate rispettivamente \(A\) e \(B\), allora l'applicazione \(G\circ F:\ V\rightarrow U\) ha come matrice associata la matrice \(BA\). Date le applicazioni tra spazi vettoriali f.g. \(F:\ V\rightarrow W\) e  \(G:\ W\rightarrow U\) allora si ha \(\textrm{dim Im}(G\circ F)\leqslant\min\{\textrm{dim Im}G,\ \textrm{dim Im}F\}\). Teorema di Kronecker per il rango del prodotto di matrici: se \(A\) e \(B\) sono due matrici allora \(\textrm{rk}AB\leqslant\textrm{min}\{\textrm{rk}A,\ \textrm{rk}B\}\). Se si moltiplica una matrice \(A\) a destra o a sinistra per una matrice invertibile, allora il rango di \(A\) resta invariato. Legge di cambiamento della matrice associata ad una applicazione lineare: sia \(F:\ V\rightarrow W\) un applicazione lineare tra due spazi vettoriali f.g., siano \(\mathcal B\) e \(\mathcal B'\) due basi di \(V\) con matrice di passaggio \(P\) e siano \(\overline{\mathcal B}\) e \(\overline{\mathcal B}'\) due basi di \(W\) con matrice di passaggio \(Q\), siano poi \(A\) la matrice associata ad \(F\) rispetto alle basi \(\mathcal B\) e \(\overline{\mathcal B}\) ed \(A'\) la matrice associata ad \(F\) rispetto alle basi \(\mathcal B'\) e \(\overline{\mathcal B}'\), allora si ha \(A'=Q^{-1}AP\). Le matrici associate ad una applicazione lineare hanno lo stesso rango (che coincide con la dimensione dell'immagine).

LEZIONE 32
Argomenti:
Applicazioni invertibili. Un'applicazione è invertibile se e solo se è biettiva. Un'applicazione lineare \(F\) tra due spazi vettoriali f.g. è invertibile se e solo se le matrici associate ad \(F\) sono invertibili; in particolare la matrice di \(F^{-1}\) è l'inversa della matrice di \(F\) (a patto di usare le stesse basi). Endomorfismi e automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici associate ad un endomorfismo. Matrici simili. Le matrici associate ad un endomorfismo sono simili tra loro, hanno lo stesso rango e lo stesso determinante. Un endomorfismo è automorfismo se e solo se tutte le sue matrici associate sono invertibili. Introduzione alla diagonalizzazione: motivazione e applicazioni. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Gli autospazi di un endomorfismo sono sottospazi vettoriali di dimensione maggiore o uguale a 1. Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Gli autospazi (associati ad autovalori distinti) di un endomorfismo sono a somma diretta. Un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) ha al più \(n\) autovalori distinti. Ricerca di autovalori e autovettori. Un numero reale \(\lambda\) è autovalore per un endomorfismo \(F\) se e solo verifica l'equazione \(\textrm{det}(A-\lambda I_n)=0\), dove \(A\) è una matrice associata ad \(F\). Un vettore con coordinate \(X\in\mathbb{R}^n\) è un autovettore per \(F\) associato all'autovalore \(\lambda\) se e solo se le sue coordinate risolvono il sistema lineare omogeneo \((A-\lambda I_n)X=\mathbf{0}\). Matrice caratteristica. Polinomio caratteristico. Equazione caratteristica. Equazione secolare di Laplace. Teorema di invarianza del polinomio caratteristico: il polinomio caratteristico di un endomorfismo \(F\) non dipende dalla matrice di \(F\) scelta per calcolarlo. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Un endomorfismo non è invertibile se e solo se ammette l'autovalore nullo, in particolare l'autospazio associato a 0 coincide con il nucleo dell'endomorfismo.
Esercizi Foglio n.14: Applicazioni lineari e matrici associate.

LEZIONE 33
Argomenti:
Esercitazione: sottospazi vettoriali, spazio affine, applicazioni lineari, autovalori e autovettori.

LEZIONE 34
Argomenti:
Un endomorfismo \(F\) di uno spazio vettoriale f.g. \(V\) è diagonalizzabile se e solo se \(V\) ammette una base costituita da autovettori per \(F\).  Richiami sui polinomi a coefficienti reali. Teorema di Ruffini: un polinomio \(f(x)\in\mathbb{R}[x]\) ha per radice il numero \(\alpha\in\mathbb{R}\) se e solo se \(x-\alpha\) è uni divisore di \(f(x)\). Si dice che la radice \(\alpha\) di \(f(x)\) ha molteplicità \(m\) se e solo se \((x-\alpha)^m\) è un divisore del polinomio \(f(x)\) ma \((x-\alpha)^{m+1}\) non è un divisore di \(f(x)\). Teorema fondamentale dell'Algebra (di Gauss): ogni polinomio a coefficienti reali di grado \(n\) ha esattamente \(n\) radici in \(\mathbb{C}\), contando le molteplicità. Un polinomio a coefficienti reali di grado \(n\) ha al più \(n\) radici reali. Test delle radici razionali (di Newton): se un polinomio a coefficienti interi \(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\) ha una radice razionale \(a/b\), allora \(a\) è un divisore del termine noto e \(b\) è un divisore del coefficiente direttore di \(f(x)\). Teorema di d'Alembert: un polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha almeno una radice reale ed ammette un numero dispari di radici reali, pari al più al suo grado; un polinomio a coefficienti reali di grado pari o non ha radici reali oppure ammette un numero pari di radici reali, non superiore al suo grado. Molteplicità algebrica \(\textrm{m.a.}(\lambda)\) e molteplicità geometrica \(\textrm{m.g.}(\lambda)\) di un autovalore \(\lambda\). Un endomorfismo diagonalizzabile ha autovalori tutti reali (non necessariamente distinti). Se \(\lambda\) è un autovalore di un endomorfismo allora \(1\leqslant \textrm{m.g.}(\lambda)\leqslant \textrm{m.a.}(\lambda)\). Teorema fondamentale della diagonalizzabilità: un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita è diagonalizzabile se e solo se ammette autovalori tutti reali e per ciascuno di questi molteplicità geometrica e molteplicità aritmetica coincidono. Se un endomorfismo ammette autovalori distinti allora è diagonalizzabile.

LEZIONE 35
Argomenti:
Diagonalizzabilità di matrici. Polinomio caratteristico, autovalori, autovettori, autospazi di una matrice quadrata. Una matrice quadrata è diagonalizzabile se e solo se essa è simile ad una matrice diagonale. Esempi di diagonalizzazione di applicazioni lineari e matrici. Teorema di Cayley-Hamilton: ogni matrice quadrata è radice del suo polinomio caratteristico. Calcolo dell'inversa di una matrice con il polinomio caratteristico.
Esercizi Foglio n.15: Diagonalizzazione di applicazioni lineari.
Esercizi Foglio n.16: Complementi sulle matrici.

LEZIONE 36
Argomenti:
Forme bilineari su uno spazio vettoriale reale. Forma bilineare nulla. Una forma bilineare \(b\) su uno spazio vettoriale \(V\) è detta simmetrica se per ogni \(v,w\in V\) si ha che \(b(v,w)=b(w,v)\). Una forma bilineare \(b\) su uno spazio vettoriale \(V\) è antisimmetrica se e solo se per ogni \(v,w\in V\) si ha che \(b(v,w)=-b(w,v)\), se e solo \(b(v,v)=0\). La forma nulla è l'unica sia simmetrica che antisimmetrica. Il determinante delle matrici quadrate di ordine 2 è una forma bilineare antisimmetrica. Il prodotto scalare standard su \(\mathbb{R}^n\) è una forma bilineare simmetrica. Il prodotto tra numeri reali è una forma bilineare simmetrica (commutativa) su \(\mathbb{R}\). Matrice di Gram associata ad una forma bilineare rispetto ad una base. Formule di calcolo in termini di coordinate e matrice associata. Una forma bilineare è simmetrica (risp. antisimmetrica) se e solo se la matrice associata a \(b\) è simmetrica (risp. antisimmetrica). Legge di cambiamento della matrice associata ad una forma bilineare: sia \(b\) una forma bilineare su uno spazio f.g. \(V\), siano \(\mathcal B\) e \(\mathcal B'\) due basi di \(V\) con matrice di passaggio \(P\), siano poi \(A\) la matrice associata a \(b\) rispetto a \(\mathcal B\) e \(A'\) la matrice associata a \(b\) rispetto alla base, allora si ha \(A'=P^{T}AP\). Matrici congruenti. Le matrici associate ad una stessa forma bilineare sono congruenti tra loro. Rango di una forma bilineare. Forme degeneri e non. Le matrici associate ad una stessa forma bilineare hanno tutte lo stesso rango.

LEZIONE 37
Argomenti:
La simmetria e l'antisimmetria sono invarianti per congruenza. Il segno del determinante è invariante per congruenza. Quadrato di binomio generalizzato. Una forma bilineare \(b\) su uno spazio \(V\) è degenere se e solo esiste un vettore non nullo \(v\) tale che \(b(v,w)=0\), per ogni \(w\in V\), se e solo esiste un vettore non nullo \(v\) tale che \(b(w,v)=0\), per ogni \(w\in V\). Due vettori \(v\) e \(w\) si dicono ortogonali secondo una forma bilineare simmetrica \(b\) se \(b(v,w)=0\) e si scrive \(v\bot w\). Il vettore nullo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio. Vettori isotropi (ortogonali a sé stessi). Cono isotropo di una forma bilineare simmetrica. Il cono isotropo non è in generale un sottospazio vettoriale, contiene il vettore nullo ed è costituito da unione di rette. Il sottospazio ortogonale \(S^\bot\) ad un insieme di vettori \(S\subset V\) è costituito da tutti i vettori di \(V\) ortogonali a tutti i vettori di \(S\). Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale. Il sottospazio ortogonale \(W^\bot\) di un sottospazio \(W\) f.g. è il sottospazio dei vettori ortogonali a tutti i vettori di una base di \(W\). Esempi di calcolo di sottospazi ortogonali. Teorema di Fourier: dato un vettore non isotropo \(v\in V\), si ha che \(V=v^\bot\oplus\mathcal{L}(v)\). Coefficiente di Fourier di \(w\) secondo un vettore non isotropo \(v\): \(\frac{b(v,w)}{b(v,v)}\). Basi ortogonali e basi diagonalizzanti. Teorema di Gauss-Lagrange: Una forma bilineare è diagonalizzabile (rispetto ad una base ortogonale) se e solo se è simmetrica.
Esercizi Foglio n.17: Forme bilineari.
  
LEZIONE 38
Argomenti:
Esercitazione: Forme bilineari, sottospazi ortogonali, diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche.

LEZIONE 39
Argomenti:
Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Forma quadratica nulla. Forma quadratica standard. Le forme quadratiche sono funzioni omogenee di secondo grado. Forma (bilineare) polare di una forma quadratica. Formula di polarizzazione: data una forma quadratica \(Q\) su uno spazio vettoriale \(V\), la forma bilineare polare di \(Q\) è data da \(b(v,w)=\frac12[Q(v+w)-Q(v)-Q(w)]\), per ogni \(v,w\in V\). Matrice asssociata ad una forma quadratica. Regole di calcolo in termini di matrice associata. Forme quadratiche diagonali. Diagonalizzazione di forme quadratiche. Legge di inerzia di Sylvester: data una forma quadratica \(Q\) di rango \(r\) su uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita, esistono un numero intero positivo \(p\) ed una base \(\left\{ v_1,\,\dots, v_n \right\}\) di \(V\) rispetto a cui la forma \(Q\) ha l'espressione \(Q(x_1,\,\dots,\,x_n)=x_1^2+\dots+x_p^2-x_{p+1}^2-\dots-x_r^2\); inoltre il numero \(p\) è indipendente dalla base scelta e dipende solo dalla forma \(Q\).

LEZIONE 40
Argomenti:
Forma canonica di Sylvester di una forma quadratica. Basi di Sylvester. Indice di positività, indice di negatività, segnatura di una forma quadratica. Forme quadratiche (e forme bilineari simmetriche) definite positive, semidefinite positive, definite negative, semi
definite negative, indefinite. Forme quadratiche canoniche su \(\mathbb{R}^2\) e su \(\mathbb{R}^3\). Se una forma quadratica ha cono isotropo banale, o è definita positiva, o è definita negativa. Teorema degli zeri per le forme quadratiche: se una forma quadratica \(Q\) assume valore positivo su un vettore \(v\) e valore negativo su un vettore \(w\), allora esiste un vettore isotropo per \(Q\). Matrici simmetriche definite positive, semidefinite positive, definite negative, semidefinite negative, indefinite. Tutte le matrici simmetriche definite positive di ordine \(n\) sono congruenti alla matrice identica. Una matrice simmetrica \(A\) è definita positiva se e solo se esiste una matrice invertibile \(M\) tale che \(A=M^TM\). Calcolo della segnatura e diagonalizzazione di forme quadratiche col metodo di completamento dei quadrati (metodo di Gauss-Lagrange). Minori principali di una matrice quadrata. Teorema di Jacobi-Sylvester (criterio dei minori principali): una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali sono strettamente positivi. Prodotti scalari. Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare standard su \(\mathbb{R}^n\). Norma (o lunghezza) di un vettore, \(\parallel v\parallel=\sqrt{v\cdot v}\). Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz: dati due vettori \(v\) e \(w\) si ha che \(|v\cdot w|\leqslant\parallel v\parallel \,\parallel w\parallel\). Proprietà della norma: la norma assume sempre valori positivi ed è nulla solo per il vetore nullo; la norma è positivamente omogenea di grado 1. Diseguaglianza triangolare. Angolo (convesso) compreso tra due vettori non nulli. Detto \(\theta\) l'angolo compreso tra due vettori non nulli \(v\) e \(w\), si ha che \(v\cdot w=\parallel v\parallel \,\parallel w\parallel \cos\theta\). Teorema di Pitagora. Teorema di Carnot.
Esercizi Foglio n.18: Forme quadratiche.

LEZIONE 41
Argomenti:
Versori. Normalizzazione di vettori. Basi ortogonali. Basi ortonormali. Dei vettori non nulli e a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Normalizzando i vettori di una base ortogonale si ottiene una base ortonormale. Procedimento ortogonale di Gram-Schmidt. Interpretazione geometrica del coefficiente di Fourier e del procedimento ortogonale di G.-S. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale. Teorema di decomposizione ortogonale: Dato un sottospazio vettoriale non nullo \(W\subseteq\mathbb R^n\), risulta che \(\mathbb R^n=W\oplus W^\bot\); in particolare si ha che \(\textrm{dim}W^\bot=n-\textrm{dim}W\). Proiezione ortogonale di vettori rispetto a un sottospazio.
Esercizi Foglio n.19: Spazi vettoriali euclidei

LEZIONE 42
Argomenti:
Matrici ortogonali. Una matrice ortogonale è invertibile. Una matrice di ordine \(n\) è ortogonale se e solo se le sue righe (colonne) sono una base di ortonormale di \(\mathbb R^n\). Le matrici ortogonali hanno determinante uguale a \(\pm1\). Siano \(\mathcal B\) una base ortonormale di \(\mathbb R^n\), \(\mathcal B'\) un'altra base di \(\mathbb R^n\) e sia \(P\) la matrice di passaggio da \(\mathcal B\) a \(\mathcal B'\); allora la base \(\mathcal B'\) è ortonormale se e solo se \(P\) è una matrice ortogonale. Spazi euclidei. Sistemi di riferimento cartesiano nel piano euclideo. Distanza tra due punti. Versore normale ad una retta. Costruzione di un sistema di riferimento cartesiano associato ad una retta. Angolo (convesso) tra due rette incidenti. Dati un punto \(P(x_0,\,y_0)\) e la retta \(r:\ ax+by+c=0\), la distanza di \(P\) da \(r\) vale \(d(P,r)=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Distanza tra rette parallele nel piano. Circonferenza nel piano. Ortottica e isottica di un segmento. Spazio euclideo tridimensionale. Sistema di riferimento cartesiano. Distanza tra due punti. Dato il piano \(ax+by+cz+d=0\), il vettore di giacitura di \(\pi\), \(v_\pi=(a,b,c)\), è ortogonale al piano \(\pi\). Data una retta \(r\) di vettore direzionale \(v_r\) ed un piano \(\pi\) di giacitura \(v_\pi\), si ha che \(r\) è parallela a \(\pi\) se e solo se \(v_r\) e \(v_\pi\) sono ortogonali, \(r\) è ortogonale a \(\pi\) se e solo se \(v_r\) e \(v_\pi\) sono paralleli (proporzionali).
Esercizi Foglio n.20: Piano euclideo

LEZIONE 43
Argomenti:
Esercitazione: spazi vettoriali euclidei, proiezioni ortogonali, piano euclideo.

LEZIONE 44
Argomenti:
Due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono le loro giaciture. Distanza di un punto da un piano: dati un punto \(P(x_0,\,y_0,\,z_0)\) e il piano \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\), la distanza di \(P\) da \(\pi\) vale \(d(P,\pi)=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Distanza di un punto da una retta. Distanza di una retta da un piano. Distanza tra due piani. Distanza tra due rette parallele o incidenti. Proiezione ortogonale di un punto su un piano, di un punto su una retta e di una retta su un piano. Prodotto vettoriale in \(\mathbb R^3\). Il prodotto vettoriale è bilineare antisimmetrico. Il prodotto vettoriale di due vettori è nullo se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti. Prodotto misto di tre vettori. Il prodotto misto è lineare rispetto ai suoi argomenti e cambia segno per ogni scambio dei vettori che si moltiplicano. Il prodotto vettoriale di due vettori è ortogonale ad entrambi i fattori. Dati due vettori \(v\) e \(w\) di \(\mathbb R^3\), si ha che \(\parallel v\wedge w\parallel^2 =\parallel v\parallel ^2\,\,\parallel w\parallel^2-(v\cdot w)^2 \). Dati due vettori linearmente indipendenti \(v\) e \(w\), si ha che \(\left\{v,w,v\wedge w\right\}\) è una base di \(\mathbb{R}^3\). Siano dati due vettori non nulli \(v\) e \(w\) in \(\mathbb R^3\) e sia \(v=a+b\) con \(a\) parallelo a \(w\) e \(b\) perpendicolare a \(w\), allora \(\parallel v\wedge w\parallel = \parallel b\parallel \,\parallel w\parallel\). Il modulo del prodotto vettoriale di due vettori eguaglia l'area del parallelogramma sotteso dai due vettori. Dati tre punti nello spazio \(A,B,C\), l'area del triangolo \(ABC\) è data da \(\mathcal A= \frac12 \parallel\vec{AB}\wedge\vec{AC}\parallel\). Il prodotto misto di tre vettori nello spazio dà il volume del parallelepipedo sotteso ai tre vettori.
Esercizi Foglio n.21: Prodotto vettoriale

LEZIONE 45
Argomenti:
Teorema della perpendicolare comune: Date due rette sghembe \(r\) ed \(s\), esiste ed è unica la retta \(r'\) perpendicolare sia ad \(r\) che ad \(s\) ed incidente sia \(r\) che \(s\), inoltre la distanza tra i due punti di incidenza dà la distanza tra le due rette sghembe. Sfere nello spazio. Circonferenze nello spazio. Calcolo del centro e del raggio di una circonferenza nello spazio. Sfera per quattro punti non complanari nello spazio. Circonferenza passante per tre punti non allineati nello spazio. Dimensione "generalizzata" di un oggetto geometrico. Endomorfismi simmetrici di \(\mathbb R^n\). Siano dati due endomorfismi \(F\) e \(G\)  di \(\mathbb R^n\) tali che \(F(v)\cdot w=v\cdot G(w)\), per ogni \(v,w\in\mathbb R^n\), allora la matrice canonica di \(F\) è la trasposta della matrice canonica di \(G\). Un endomorfismo di \(\mathbb R^n\) è simmetrico se e solo se la sua matrice rispetto alla base canonica (o qualsiasi base ortonormale) è una matrice simmetrica. L'operatore di proiezione ortogonale su un sottospazio è un endomorfismo simmetrico. Autovettori associati ad autovalori distinti di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali. Un endomorfismo simmetrico trasforma vettori ortogonali ad un autovettore in vettori ortogonali allo stesso autovettore. Teorema spettrale: motivazione.
Esercizi Foglio n.22: Spazio euclideo
Esercizi Foglio n.23: Sfere e circonferenze nello spazio

LEZIONE 46
Argomenti: 
Tereoma spettrale (per endomorfismi simmetrici): Ogni endomorfismo simmetrico di \(\mathbb R^n\) è diagonalizzabile rispetto ad una base ortonormale di suoi autovettori. Teorema spettrale (per matrici simmetriche): Ogni matrice simmetrica è sia simile che congruente ad una matrice diagonale, ovvero per ogni matrice simmetrica \(A\) esistono una matrice diagonale \(D\) ed una matrice ortogonale \(M\) tali che \(D=M^{-1}AM=M^{T}AM\). Se una matrice simmetrica di ordine \(n\) \(A\) ha \(r\) autovalori non nulli di cui \(p\) positivi ed  \(r-p\) negativi, allora la matrice \(A\) ha rango \(r\) e segnatura \(\textrm{sgn}(A)=(p,r-p)\). Teorema di Harriot-Descartes (regola dei segni di Cartesio): Sia \(f(x)\in\mathbb R[x]\) un polinomio a coefficienti reali non costante e che non ha radici nulle (col termine noto diverso da 0); allora il numero di radici reali positive di \(f(x)\) non supera il numero delle variazioni di segno dei coefficienti di \(f(x)\) (ordinati secondo le potenze decrescenti della \(x\)) ed  il numero di radici reali negative di \(f(x)\) non supera il numero delle variazioni di segno dei coefficienti di \(f(-x)\) (ordinati secondo le potenze decrescenti della \(x\)). Se un polinomio \(f(x)\in\mathbb R[x]\) ha solo radici reali (non nulle), il numero delle radici positive di \(f(x)\) è uguale al numero delle variazioni di segno ed il numero delle radici negative di \(f(x)\) è uguale al numero delle permanenze di segno dei coefficienti di \(f(x)\). Una matrice simmetrica di rango massimo ha segnatura \((p,q)\) se e solo se nel suo polinomio caratteristico ci sono \(p\) variazioni di segno e \(q\) permanenze di segno. Un endomorfismo \(F\) di \(\mathbb r^n\) è detto (operatore) unitario o ortogonale se conserva il prodotto scalare dei vettori, ovvero se per ogni \(v,w\in\mathbb R^n\) si ha che \(F(v)\cdot F(w)=v\cdot w\). Sia \(F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n\) un endomorfismo, allora \(F\) è simmetrico se e solo se conserva la norma (cioè \(\parallel F(v)\parallel=\parallel v\parallel\), per ogni vettore \(v\)), se e solo se \(F\) trasforma basi ortonormali in basi ortonormali, se e solo se la matrice associata ad \(F\) rispetto ad una base ortonormale è una matrice ortogonale. Gli operatori ortogonali  sono invertibili. Se \(\lambda\) è un autovalore di un operatore ortogonale, allora si ha \(\lambda=\pm1\). Una trasformazione (lineare) del piano affine è un'applicazione \(f:\mathbb A^2\to \mathbb A^2\) tale che per ogni punto \(P(x,y)\) si abbia \(f(x,y)=(ax+by+c,\,\,a'x+b'y+c')\); inoltre ad una trasformazione lineare si associa la matrice \(A=\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}\) ed il vettore \(v=(c,c')\). Una trasformazione costante del tipo \(f(x,y)=(x_0,\,y_0)\) fa implodere tutto il piano nel punto \((x_0,y_0)\). La trasformazione identica \(f(x,y)=(x,y)\) lascia fissi tutti i punti, ha matrice associata identica e vettore associato nullo. Una traslazione è di tipo \(f(x,y)=(x+c,\,\,y+c')\), ha matrice associata identica e vettore associato \((c,c')\).
Esercizi Foglio n.24: Teorema spettrale
Esercizi Foglio n.25: Regola dei segni di Cartesio

LEZIONE 47
Argomenti:
Esercitazione: geoemtria dello spazio, teorema spettrale.

LEZIONE 48
Argomenti:
Proiezione sull'asse \(x\): \(\Pi_x(x,y)=(x,0)\). Rotazione attorno all'origine di un angolo \(\vartheta\): \(\rho_\vartheta(x,y)=(\cos\vartheta\,x-\sin\vartheta\,y;\ \sin\vartheta\,x+\cos\vartheta\,y)\).
Dilatazioni. Simmetria centrale rispetto ad un punto \(C=(x_C,\,y_C)\): \(\sigma_C(x,y)=(2x_C-x,\,\,2y_C-y)\). La simmetria centrale rispetto a \(C\) è una rotazione di \(180^\circ\) attorno al punto \(C\). Simmetria rispetto all'asse \(x\): \(\sigma_x(x,y)=(x,\,-y)\). Interpretazione geometrica di autovalori ed autovettori di omomorfismi di \(\mathbb R^2\). Un'affinità è una trasformazione lineare del piano con amtrice associata invertibile. Un'isometria è un'affinità con matrice associata ortogonale. Se \(f\) è un'isometria, allora conserva le distanze e le lunghezze, cioè \(\parallel \stackrel{\longrightarrow}{f(P)f(Q)}\parallel=\parallel\stackrel{\longrightarrow}{PQ} \parallel\), per ogni coppia di punti \(P\) e \(Q\) del piano. La composizione di affinità è un'affinità. La composizione di isometrie è un'isometria. Teorema di Chasles (cenni): le isometrie del piano sono rotazioni e traslazioni, con determinante uguale ad 1, simmetrie assiali e glissosimmetrie, con determinante uguale a -1. Equazioni del cambiamento di riferimento cartesiano: dati due sistemi di riferimento cartesiani \(\left\{O, {\bf{i}},{\bf{j}}\right\}\) e \(\left\{O', {\bf{i'}},{\bf{j'}}\right\}\), siano \(O'=(x_{O'},y_{O'})\) le coordinate di \(O'\) rispetto al primo sistema di riferimento, e sia \(M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}\) la matrice (ortogonale) di passaggio dalla base \(\left\{{\bf{i}},{\bf{j}}\right\}\) alla base \(\left\{{\bf{i'}},{\bf{j'}}\right\}\), preso un punto \(P\) che ha coordinate \(P(x,y)\) nel primo sistema di riferimento e \(P(x',y')\) nel secondo, si ha che \(\begin{cases}x=m_{11}x'+m_{12}y'+x_{O'}\\y=m_{21}x+m_{22}y'+y_{O'}  \end{cases}\) e \(\begin{cases}x'=m_{11}(x-x_{O'})+m_{21}(y-y_{O'})\\y=m_{12}(x-x_{O'})+m_{22}(y-y_O')\end{cases}\). Una conica è un insieme dei punti del piano le cui coordinate \((x,y)\) verificano un'equazione di secondo grado di tipo: \(\mathscr C: a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{01}x+2a_{02}y+a_{00}=0\), con \(a_{ij}\in\mathbb R\) e \(a_{11},a_{12},a_{22}\) non contemporaneamente nulli. Matrice (simmetrica) associata ad una conica: data la conica \(\mathscr C\) di equazione come sopra, la matrice associata a \(\mathscr C\) è la matrice simmetrica \(A=\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\), in cui \(a_{01}=a_{10},\ a_{02}=a_{20},\ a_{21}=a_{12}\). Se \(A\) è la matrice associata alla conica \(\mathscr C\), allora si ha che \(\mathscr C\) ha equazione: \(\mathscr C:(1,x,y)A\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}=0\). Rango di una conica. Coniche non degeneri, coniche degeneri, semplicemente degeneri e doppiamente degeneri. Matrice e forma quadratica associata ad una conica: \(Q=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\) e \(Q(x,y)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy\). Tipo di una conica: coniche di tipo ellittico, iperbolico e parabolico. Sia \(f\) un'isometria del piano euclideo, sia \(f^{-1}(x,\,y)=M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\), con \(M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}\), la trasformazione inversa di \(f\), sia data la matrice \(\bar{M}=\begin{pmatrix}1&0&0\\c_1&m_{11}&m_{12}\\c_2&m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}\), allora presa la conica \(\mathscr C\) con matrice associata \(A\) e matrice quadratica \(Q\) e dette \(A'\) la matrice associata alla trasformata \(f(\mathscr C)\) di \(\mathscr C\) sotto l'azione di \(f\) e \(Q'\) la matrice quadratica di \(f(\mathscr C)\), si ha che \(A'=\bar{M}^TA\,\bar M\) e \(Q'=M^TQ\,M\). Teorema di invarianza: data una conica \(\mathscr C\) con matrice associata \(A\) e matrice quadratica \(Q\), se \(\mathscr C'\) è la trasformata di \(\mathscr C\) sotto l'azione di un'isometria e \(A'\) e \(Q'\) sono le matrici associate ad essa, si ha che \(\textrm{rank} A=\textrm{rank} A'\), \(\textrm{det} Q=\textrm{det} Q'\), \(\textrm{sgn} Q=\textrm{sgn} Q'\). Il tipo e il rango di una conica sono invarianti euclidei (per effetto di isometrie).
Esercizi Foglio n.26: Affinità e isometrie

LEZIONE 49
Argomenti: 
Le nove forme canoniche delle coniche euclidee. Classificazione delle forme canoniche per rango, tipo e grafico (per distinguere le ellissi e le parabole semplicemente degeneri reali dalle corrispettive con grafico vuoto). Teorema di riduzione in forma canonica: ogni conica euclidea è isometrica (o congruente) ad una soltanto delle nove forme canoniche, ovvero si può sempre trovare un'isometria che trasforma la conica data nella sua forma canonica ed esiste un sistema di riferimento cartesiano in cui la conica assume l'equazione canonica. Il centro di simmetria di una conica euclidea a centro è dato dalle soluzioni del sistema lineare \(\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{10}=0\\a_{12}x+a_{22}y+a_{20}=0 \end{cases}\). Gli assi di simmetria di una conica a centro sono dati dalle rette parallele agli autospazi di \(Q\) passanti per il centro di simmetria. Gli asintoti di un'iperbole sono le rette passanti per il centro di simmetria e parallele alle rette che si ottengono fattorizzando la parte omogenea di secondo grado \(Q(x,y)\) della conica. Il vertice di una parabola può essere calcolato come punto di tangenza tra la parabola e la retta parallela all'autospazio dell'autovalore non nullo di \(Q\). L'asse di simmetria di una parabola è la retta parallela all'autospazio associato all'autovalore nullo e passante per il vertice della parabola. Decomposizione di coniche degeneri che sono unione di rette. Tecniche di fattorizzazione dei polinomi di secondo grado in \(\mathbb R[x,y]\).

LEZIONE 50
Argomenti:
Esercitazione: studio di coniche generali e degeneri. Fattorizzazione di polinomio di secondo grado a coefficienti reali in due indeterminate.
Esercizi Foglio n.27: Coniche euclidee

LEZIONE 51
Argomenti:
Le nove forme canoniche affini delle coniche. Classificazione affine delle coniche nel piano affine. Teorema di riduzione in forma canonica: ogni conica affine è affinemente equivalente ad una soltanto delle nove forme canoniche affini, ovvero si può sempre trovare un'affinità che trasforma la conica data nella sua forma canonica. La classificazione affine delle coniche è meno fine della classificazione euclidea: le coniche affini sono (essenzialmente) nove. Quadriche nello spazio euclideo (tridimensionale). Matrice associata e matrice quadratica di una quadrica. Rango di una quadrica. Forme canoniche delle quadriche euclidee. Quadriche di rango 4 e di rango 3. Ellissoide a punti reali. Ellissoide immaginario. Iperboloide iperbolico (a una falda). Iperboloide ellittico (a due falde). Paraboloide ellittico. Paraboloide iperbolico (a sella). Cono (doppio o quadrico) a punti reali e cono a punti immaginari. Cilindri ellittici, parabolici e iperbolici. Sezioni di quadriche con piani paralleli ai piani coordinati \(xy\), \(xz\) e \(yz\). Quadriche rigate. Piani tangenti ad una quadrica (cenni). Punti ellittici, iperbolici, parabolici su una quadrica. Il cono quadrico contiene le coniche a punti reali (tranne la coppia di rette parallele). Generazione meccanica di un iperboloide a sella (per scorrimento del vertice di una parabola lungo il profilo di un'altra). Analisi del modello di un cono, di un iperboloide iperbolico e di un paraboloide iperbolico. Esempi di riduzione in forma canonica.
Esercizi Foglio n.28: Coniche affini
Esercizi Foglio n.29: Quadriche

LEZIONE 52
Argomenti:
Gruppi (finiti o infiniti) di isometrie nel piano (cenni). Gruppo diedrale del triangolo equilatero. Le isometrie del piano nelle arti figurative (arte islamica, Caravaggio, Borromini). Trasformazioni geometriche utilizzate nelle composizioni musicali di J.S. Bach (canone, ripetizione, trasposizione, inversione, retrogradazione del tema principale). Spazio quadridimensionale di Minkowski \(\mathbb M^4\): un evento è una quaterna di numeri reali \((x,\,y,\,z,\,t)\), dove \(x,y,z\) sono le coordinate spaziali e \(t\) è la coordinata temporale. Metrica indefinita in \(\mathbb M^4\): la distanza tra due eventi è data da \(\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2+(z_P-z_Q)^2-c^2(t_P-t_Q)^2}\). Meccanica newtoniana e meccanica relativistica a confronto. La distanza spaziale e la distanza temporale  tra due eventi non sono assoluti nello spazio di Minkowski (dipendono dal sistema di riferimento). Cono isotropo (cono di luce) in \(\mathbb M^4\). Linea di universo. Futuro, passato, presente, altrove assoluto. Assioma della relatività: la velocità della luce è la massima possibile. Lo scandalo del dogma mariano. Introduzione agli spazi proiettivi: motivazione. Il piano proiettivo reale \(\mathbb P^2({\mathbb R})\) è l'insieme delle terne non nulle di numeri reali definite a meno di un fattore moltiplicativo non nullo. Coordinate omogenee \(P[x_1,x_2,x_0]\) di un punto \(P\in \mathbb P^2\). Una retta proiettiva in \(\mathbb P^2\) è l'insieme dei punti che verificano una equazione lineare omogenea a coefficienti reali nelle tre indeterminate \(X_1,X_2,X_0\) del tipo \(aX_1+b_2+cX_0=0\). La definizione di retta è ben posta. Per due punti distinti di \(\mathbb P^2\) passa una e una sola retta proiettiva. Due rette distinte in \(\mathbb P^2\) si intersecano in un unico punto (in \(\mathbb P^2\) non esistono rette parallele).

LEZIONE 53
Argomenti:
Esercitazione: geometria dello spazio, coniche, quadriche.

LEZIONE 54
Argomenti:
Immersione naturale (iniettiva) del piano affine nel piano proiettivo: ogni punto \(P(x_P,y_P)\) del piano affine si identifica con il punto proiettivo \(\bar P[x_P,y_P,1]\). A meno di identificazioni, il piano proiettivo è unione del piano affine e dei punti che giacciono sulla retta \(X_0=0\), detta la retta impropria. I punti con ultima coordinata non nulla (quindi di tipo \([a,b,1]\)) sono detti punti propri, i punti dela retta impropria (di tipo \([\alpha,\beta,0]\)) sono detti impropri. Per definire luoghi geometrici in \(\mathbb P^2\) si devono usare polinomi omogenei nelle indeterminate \(X_0,X_1,X_2\) affinché l'appartenenza ad un luogo geometrico non dipenda dalle coordinate scelte per il punto. Data la retta affine \(r:\ ax+by+c=0\), la retta proiettiva \(\bar r:\ aX_1+bX_2+cX_0=0\) è detta la chiusura proiettiva della retta \(r\) è può essere ottenuta omogenizzando l'equazione di \(r\) ponendo \(x=\frac{X_1}{X_0}\), \(y=\frac{X_2}{X_0}\) e cancellando i denominatori. Data una retta proiettiva \(\bar r:\ aX_1+bX_2+cX_0=0\), la sua parte affine \(r\) può essere ottenuta ponendo \(X_0=1\) ed il suo punto improprio è \(r_\infty[-b,a,0]\) che rappresenta la direzione della retta \(r\). Due rette affini parallele hanno (chiusure proiettive che hanno) il punto improprio in comune, quindi la stessa direzione. Il "punto all'infinito" \(r_\infty\) di una retta affine \(r\) è il punto improprio della sua chiusura proiettiva \(\bar r\). Due rette affini parallele si incontrano all'infinito. Il modello di \(\mathbb P^2\) come disco con il bordo in cui il piano affine è la parte interna del cerchio e la retta impropria è il bordo del cerchio. Proiezioni prospettiche (cenni) nell'arte rinascimentale italiana. Una conica proiettiva è l'insieme dei punti di \(\mathbb P^2\) che annullano un polinomio omogeneo di secondo grado del tipo: \(\mathscr C:\   a_{11}X_1^2+a_{22}X_2^2+2a_{12}X_1X_2+2a_{01}X_0X_1+2a_{02}X_0X_2+a_{00}X_0^2=0\), con \(a_{ij}\in\mathbb R\) e non tutti nulli. Il polinomio che definisce una conica proiettiva è una forma quadratica nelle indeterminate \(X_0,X_1,X_2\) con matrice (simmetrica) associata \(A=\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\). In termini di matrice associata l'equazione di \(\mathscr C\) può essere scritta come \(\mathscr C: \ (X_0,X_1,X_2)A\begin{pmatrix}X_0\\X_1\\X_2\end{pmatrix}=0\). Rango di una conica proiettiva. Coniche non degeneri (\(\textrm{rk}\mathscr{C}=3\)), coniche degeneri (\(\textrm{rk}\mathscr{C}<3\)), semplicemente degeneri (\(\textrm{rk}\mathscr{C}=2\)), doppiamente degeneri (\(\textrm{rk}\mathscr{C}=1\)).
Esercizi Foglio n.30: Piano proiettivo reale

LEZIONE 55
Argomenti:
Cambiamenti di coordinate proiettive. Data una matrice invertibile \(M\) di ordine 3, M definisce un cambiamento di coordinate dalle "vecchie" \(X_0,X_1,X_2\) alle "nuove" \(X_0',X_1',X_2'\) secondo le formule di trasformazione \(\begin{pmatrix}X_0\\X_1\\X_2\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}X_0'\\X_1'\\X_2'\end{pmatrix}\) e dalle vecchie alle nuove secondo le formule \(\begin{pmatrix}X_0'\\X_1'\\X_2'\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}X_0\\X_1\\X_2\end{pmatrix}\). Coniche proiettive canoniche (conica vuota e conica reale di rango 3, conica ridotta a un punto, conica unione di due rette incidenti e conica unione di due rette coincidenti). Teorema di classificazione delle coniche proiettive: per ogni conica proiettiva è possibile trovare un cambiamento di ccordinate proiettive che la trasforma in una delle 5 forme canoniche proiettive. La classificazione proiettiva delle coniche è meno fine della classificazione affine (e di quella proiettiva). Una conica proiettiva di rango 3 ha una, due o nessuna intersezione con la retta impropria \(X_0=0\). Una conica di rango 3 è detta di tipo ellittico se non interseca la retta impropria, di tipo parabolico se interseca la retta impropria in un solo punto, di tipo iperbolico se interseca la retta impropria in due punti distinti. Configurazione delle coniche di rango 3 nel piano proiettivo a seconda del loro tipo.
Chiusura proiettiva di una conica affine. Configurazione delle chiusure proiettive delle coniche affini di rango 3. Motivazione della nomenclatura dei tipi delle coniche proiettive. Esempio di chiusura proiettiva di un'ellissi affine (ottenuta omogenizzando l'equazione della conica rispetto ad \(X_0\)) che è di tipo ellittico, parabolico o iperbolico a seconda che la retta all'infinito sia \(X_0=0\)
, \(X_1=0\) o \(X_2=0\). Modello di \(\mathbb P^2\) come sfera nello spazio con identificazione antipodale.

LEZIONE 56
Argomenti:
Il modello sferico di \(\mathbb P^2\) verifica le proprietà del piano proiettivo (passaggio per due punti, intersezione di rette). Il piano affine come immagine proiettata dal centro della sfera della superficie di una sfera (con identificazione antipodale). Configurazione delle coniche affini e delle loro chiusure proiettive nel modello sferico di \(\mathbb P^2\). Geometrie non-euclidee (cenni): geometria ellittica e geometria iperbolica. L'avvento delle geoemetrie non-euclidee nell XVIII secolo e lo "scontro ideologico" con la filosofia kantiana. Esercitazione: coniche affini e coniche proiettive.
Esercizi Foglio n.31: Coniche proiettive

LEZIONE 57
Argomenti:
L'anello dei polinomi \(\mathbb R[x,y]\). Polinomi omogenei dell'anello \(\mathbb R[X_0,X_1,X_2]\). Operazioni con i polinomi. Il prodotto di polinomi omogenei è un polinomio omogeneo di grado la somma dei gradi dei fattori. Curve algebriche piane affini e proiettive. Motivazione. Grado di una curva algebrica (affine o proiettiva). Legge di annullamento del prodotto tra polinomi. Omogenizzazione rispetto ad \(X_0\) di un polinomio di \(\mathbb R[x,y]\) (con la sostituzione abituale  \(x=\frac{X_1}{X_0}\), \(y=\frac{X_2}{X_0}\)). Chiusura proiettiva di una curva affine. Deomogenizzazione di un polinomio omogeneo di \(\mathbb R[X_0,X_1,X_2]\) con la sostituzione \(X_0=1\). Parte affine di una curva proiettiva. L'omogenzzazione delle curve affini conserva il grado delle curve. La deomogenizzazione delle curve proiettive conserva il grado a patto che \(X_0\) non sia un fattore del polinomio che definisce la curva proiettiva. La chiusura proiettiva di una curva affine aggiunge alla curva i suoi punti all'infinito. Derivate parziali. Gradiente di un polinomio di più variabili. Le derivate parziali di un polinomio omogeneo di grado \(n\) sono polinomi omogenei di grado \(n-1\). Un punto \(P\) di una curva (affine o proiettiva) \(\mathscr C\) si dice regolare se in \(P\) non si annulla il gradiente di \(\mathscr C\) (cioè se le derivate parziali non sono contemporaneamente nulle in \(P\)). Una curva si dice liscia se i suoi punti sono tutti regolari. Le rette e le coniche di rango 3 sono curve lisce. Retta tangente ad una curva algebrica in un suo punto regolare. Le tangenti (diverse dalla retta impropria \(X_0=0\)) nei punti regolari impropri di una curva sono chiamate asintoti.

LEZIONE 58
Argomenti:
Identità di Euler per i polinomi omogenei. Retta tangente ad una curva in un punto regolare. Molteplicità di intersezione di una retta e di una curva in un punto e metodi di calcolo. Teorema della retta tangente: data una curva affine  \(\mathscr C:\ f(x,y)=0\) ed un suo punto regolare \(P(x_P,y_P)\), esiste ed è unica la retta \(r\) che ha molteplicità di intersezione con \(\mathscr C\) in \(P\) maggiore o uguale a 2; tale retta è detta la retta tangente in \(P\) a \(\mathscr C\) ed ha equazione data da \(r:\ \frac{\partial f}{\partial x}(P)(x-x_P)+\frac{\partial f}{\partial y}(P)(y-y_P)=0\). Similmente, se è data una curva proiettiva \(\mathscr C:\ F(X_1,X_2,X_0)=0\) ed un suo punto regolare \(P\), esiste ed è unica la retta \(r\) che ha molteplicità di intersezione con \(\mathscr C\) in \(P\) maggiore o uguale a 2; tale retta è detta la retta tangente in \(P\) a \(\mathscr C\) ed ha equazione data da \(r:\ \frac{\partial F}{\partial X_1}(P)\,X_1+\frac{\partial F}{\partial X_2}(P)\,X_2+\frac{\partial F}{\partial X_0}(P)\,X_0\). La retta tangente alla chiusura proiettiva in un punto proprio regolare coincide al finito con la retta tangente affine. Configurazione della curva e della retta tangente in un intorno del punto. I punti propri con molteplicità di intersezione tra curva e retta tangente pari sono detti punti di ondulazione, quelli con molteplicità di intersezione dispari sono detti punti di inflessione. Configurazione delle curva in un intorno dei suoi asintoti a seconda della molteplicità di intersezione. Studio di curve lisce con punti impropri regolari e della configurazione nei pressi degli asintoti.

LEZIONE 59
Argomenti:
Punti singolari: analisi qualitativa. Punti isolati. Punti multipli in cui si intrecciano più rami della curva. Complesso tangente. I punti isolati hanno complesso tangente vuoto (non contiene alcuna retta). I nodi hanno due tangenti distinte. Le cuspidi due tangenti coincidenti. I punti tripli ordinari hanno tre tangenti distinte. I punti singolari di una curva affine sono i punti che annullano la curva ed il gradiente. I punti singolari di una curva proiettiva sono i punti che annullano il gradiente. Il complesso tangente ad una curva nell'origine è dato dall'annullamento dei termini di grado minimo del polinomio che definisce la curva. Punti singolari impropri dell'asse \(x\) e dell'asse \(y\). Il complesso tangente del punto improprio dell'asse \(x\) è dato dal'annullamento del coefficiente della potenza massima di \(x\) che compare nel polinomio. Il complesso tangente del punto improprio dell'asse \(y\) è dato dal'annullamento del coefficiente della potenza massima di \(y\) che compare nel polinomio. Studio della configurazione della curva nell'origine e nei punti impropri degli assi quando sono singolari. Simmetrie fondamentali delle curve piane. Grafici di curve algebriche. Versiera dell'Agnesi. Lemniscata di Bernoulli. Scifoide. Parabole divergenti di Newton. Curve ellittiche (cenni).
Esercizi Foglio n.32: Curve algebriche piane

LEZIONE 60
Argomenti:
Esercitazione in preparazione alla prova scritta.

LEZIONE 61
Argomenti:
Esercitazione in preparazione alla prova scritta.