GEOMETRIA
Facoltà di Ingegneria Civile ed Industriale
Sapienza Università di Roma
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettrotecnica
A.A. 2018/2019



AVVISI



-    Esiti della prova scritta di Novembre:
  • 1856679      18
  • 1867131      25
  • 1740702      22
  • 1846135      18
  • 1875522      19
  • 1857063      23
  • 1639551      19
  • 1858225      18
  • 1848805      23
  • 1847960      Insuff. (4)
  • 1857372      Insuff. (14)
  • 1849320      Insuff. (13)
  • 1848836      Insuff. (14)

Gli studenti sono convocati Lunedì 25 Novembre alle ore 15:00 presso l'aula 1E della Palazzina E di via Scarpa 16.

 
Docente:  prof. Antonio Cigliola
Esercitatore:  dott. Mattia Coloma
Tutor:  dott. Andrea Gallegati
 

Ricevimento


Orario delle lezioni:
Martedì                     17:00 - 19:00     Aula 5
Mercoledì                 17:00 - 19:00     Aula 5
Giovedì                     8:00 - 10:00       Aula 5
Venerdì                      8:00 - 10:00      Aula 7


Orario delle esercitazioni  (dott. Mattia Coloma)
(coloma@mat.uniroma2.it)
Giovedì                    14:00 - 16:00     Aula 7


Orario dello sportello di Geometria  (dott. Andrea Gallegati):
su prenotazione per email a andrea.gallegati@uniroma1.it
 Lunedì                              15:00 - 16:30       Aula 2E
Giovedì                            15:00 - 16:30       Aula 2E
Giovedì 6 Dicembre        15:00 - 16:30       Aula 1B1
10 Gennaio                      14:00 - 15:30       Aula 2E
24 Gennaio                      14:00 - 15:30       Aula 2E
7 febbraio                         14:00 - 15:30       Aula 2E


Prerequisiti:  Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Goniometria e trigonometria. Geometria Analitica di base. (In generale, sono dati per scontati tutti argomenti del Precorso di Matematica).


Programma di massima del corso:
Logica e algebra: Teoria elementare degli insiemi. Funzioni astratte tra insiemi e proprietà. Principio di Induzione. Gruppi astratti. Anelli di polinomi. 
Algebra lineare: Matrici. Determinanti. Rango. Sistemi lineari. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Autovalori e autovettori.  Diagonalizzazione. Forme bilineari e quadratiche. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Operatori simmetrici. Teorema spettrale. 
Geometria: Geometria affine del piano e dello spazio. Geometria euclidea del piano e dello spazio. Coniche affini ed euclidee. Quadriche euclidee.
PROGRAMMA DEFINITIVO


Selfie di fine corso     foto1      foto2


Modalità d'esame:
L'esame consiste in una prova scritta comprendente una prima parte con esercizi numerici in senso classico e la seconda parte con domande teoriche. La prima parte comporta un punteggio di 25/32, la seconda un punteggio di 7/32. La prova si intende superata se nella prima parte si è conseguito un punteggio pari o superiore a 18/32. La votazione non potrà in ogni caso essere inferiore a 18 né superiore a 30 e lode.

 
Tracce d'esame:

Prova in itinere          Testo
Gennaio 2019             Prova1       Prova2        AA precedenti
Febbraio 2019            Prova1       Prova2        AA precedenti
Marzo 2019                AA precedenti
Giugno 2019               Prova       AA precedenti
Luglio 2019                 Prova       AA precedenti
Settembre 2019          Prova
Novembre 2019          Prova



Libro di testo adottato e materiale didattico consigliato:
 

Valutazioni del corso da parte degli studenti:   .pdf


DIARIO DELLE LEZIONI:

LEZIONE 1
Argomenti: Presentazione del corso. L'insieme \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\) delle matrici di tipo \(m\times n\) a coefficienti reali. Notazioni e nomenclatura.Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla. L'insieme \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) delle matrici quadrate di ordine \(n\) a coefficienti reali. Matrici diagonali. Matrice identica di ordine \(n\). Trasposta di una matrice. Matrici triangolari superiori ed inferiori. Principio di identità tra matrici. Somma di matrici dello stesso tipo. L'addizione tra matrici è associativa e commutativa, la matrice nulla è l'elemento neutro rispetto alla somma, ogni matrice ha la sua matrice opposta. Moltiplicazione di un numero reale per una matrice: proprietà fondamentali.

LEZIONE 2
Argomenti: Matrici simmetriche ed antisimmetriche: proprietà. L'unica matrice sia simmetrica che antisimmetrica è la matrice nulla. Teorema di decomposizione unica in parte simmetrica ed antisimmetrica: ogni matrice quadrata può essere scritta in maniera unica come somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica. Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna. Prodotto riga per colonna di matrici. In generale il prodotto riga per colonna non è commutativo e non vale la legge di annullamento del prodotto tra matrici. Proprietà del prodotto riga per colonna. Prese due matrici \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\) e \(B\in M_{n,p}(\mathbb{R})\), allora \((AB)^T=B^TA^T\). La matrice identica è l'elemento neutro del prodotto.
Esercizi foglio 1: Calcolo matriciale

LEZIONE 3
Argomenti: Esercitazione: calcolo matriciale. L'insieme \(\mathbb{R}^n\) delle \(n\)-uple ordinate di numeri reali. Combinazioni lineari di vettori riga e vettori colonna.Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Esercizi foglio 2: Algebra lineare in \(\mathbb{R}^n\)

LEZIONE 4
Argomenti: Un vettore riga (o colonna) è linearmente dipendente se e solo se è nullo. Due vettori riga (o colonna) sono linearmente dipendenti se e solo se uno dei due è multiplo dell'altro. Se in un insieme di vettori riga (o colonna) uno di essi è il vettore nullo, allora i vettori sono linearmente dipendenti. Se in un insieme di vettori riga (o colonna) due di essi sono uguali, allora i vettori sono linearmente dipendenti. Dei vettori (riga o colonna) sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli altri. Determinanti di matrici quadrati di ordine \(1\) e \(2\).  Sottomatrici complementari. Complementi algebrici. Determinanti. Regola di Sarrus. Sviluppo del determinante rispetto alla prima riga. Teorema di Laplace: il determinante di una matrice può essere calcolato sviluppandolo rispetto ad una qualsiasi riga o una qualsiasi colonna. Proprietà dei determinanti: \(\textrm{det}(0_n)=0\),  \(\textrm{det}(I_n)=1\) e \(\textrm{det}(A^T)=\textrm{det}(A)\). Se una matrice ha una riga (o una colonna) nulla, il suo determinante è zero. Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi diagonali. Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi diagonali. Se in una matrice si moltiplica una riga (o una colonna) per uno scalare, il determinante della matrice resta moltiplicato per lo stesso scalare. Il determinante è lineare per righe (o per colonne).

LEZIONE 5
Argomenti: Scambiando due righe (o due colonne) in una matrice, il determinante cambia segno. Se una matrice ha due righe uguali (o due colonne uguali), il suo determinante è nullo. Se una matrice ha due righe (o due colonne) proporzionali, il suo determinante è nullo. Sommando ad una riga (o una colonna) di una matrice una combinazione lineare delle rimanenti, il determinante non cambia. Se in una matrice le righe (o le colonne) sono linearmente dipendenti, il determinante è nullo. Teorema di Binet: prese \(A\) e \(B\) due matrici quadrate dello stesso ordine, allora \(\textrm{det}(AB)=\textrm{det}A \ \textrm{det}B\). Il determinante non si distribuisce rispetto alla somma di matrici. Matrici quadrate invertibili. Prese due matrici invertibili \(A\) e \(B\), anche la matrice \(AB\) è invertibile e si ha che \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). Il gruppo lineare reale di ordine \(n\) delle matrici invertibili, \(GL_n(\mathbb{R})\). Teorema di Laplace per la matrice inversa: una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. In particolare, l'inversa di una matrice è data da \(A^{-1}=\frac{1}{\textrm{det}A}(A^*)^T\), dove \(A^*\) è la matrice che ha per entrate, ordinatamente, i complementi algebrici degli elementi della matrice \(A\). Esempi di calcolo di matrici inverse.
Esercizi foglio 3: Determinanti
Esercizi foglio 4: Matrice inversa

LEZIONE 6
Argomenti: Rango di una matrice. Una matrice ha rango zero se e solo se è la matrice nulla. Se \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\), allora \(\textrm{rk}A\leqslant\min\{m,\,n\}\) e se vale l'uguaglianza si dice che \(A\) ha rango massimo. Una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se è invertibile. Il rango di una matrice \(A\) vale \(r\) se e solo se la matrice contiene un minore non nullo di ordine \(r\) e tutti i monori di \(A\) di ordine \(r+1\) sono nulli. Minori orlati. Teorema di Kronecker: il rango di una matrice vale \(r\) se e solo se la matrice contiene un minore non nullo di ordine \(r\) e tutti i suoi orlati di ordine \(r+1\) sono nulli.
Esercizi foglio 5: Rango

LEZIONE 7
Argomenti: Esercitazione. Equazioni lineari in una o più incognite. Soluzione di un'equazione lineare. Sistemi lineari di tipo \(m\times n\) a coefficienti reali (con \(m\) equazioni ed \(n\) incognite). Soluzione di un sistema lineare. Sistemi compatibili, determinati, indeterminati, impossibili (o incompatibili). Scrittura compatta di un sistema lineare: un sistema lineare si scrive nella forma \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\), dove \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\) è la matrice incompleta, \(\mathbf{b}\in \mathbb{R}^m\) è la colonna dei termini noti e \(\mathbf{X}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T\) la colonna delle indeterminate. Sistemi omogenei.

LEZIONE 8
Argomenti: Un sistema omogeneo non è mai impossibile, ammette sempre la soluzione banale; inoltre, se ammette una soluzione non banale, ne ammette infinite. Le soluzioni di un sistema non omogeneo sono date dalla somma di una (data) soluzione particolare e di una qualsiasi soluzione del sistema omogeneo associato. Un sistema lineare ammette una, nessuna o infinite soluzioni. Sistemi lineari quadrati di ordine \(n\). Teorema di Cramer: un sistema lineare quadrato con matrice dei coefficienti \(A\) è determinato se e solo se \(\textrm{det}A\neq0\) (indipendentemente dalla colonna dei termini noti). Risoluzione di un sistema crameriano col metodo della matrice inversa. Regola di Cramer per la risoluzione di un sistema crameriano. Un sistema lineare omogeneo quadrato con matrice dei coefficienti \(A\) è indeterminato se e solo se \(\textrm{det}A=0\). Una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se le colonne (o le righe) di \(A\) sono linearmente indipendenti. Una matrice \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\)  ha rango \(r\) se e solo se in \(A\) esistono \(r\) righe (o colonne) linearmente indipendenti e se \(r+1\) righe (o colonne) comunque scelte sono linearmente dipendenti. In una matrice \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\)  il rango indica il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti.

LEZIONE 9
Argomenti: Teorema di Rouché-Capelli: un sistema lineare  \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\) è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta del sistema \(A\) e il rango della matrice completa del sistema \((A|\mathbf{b})\) sono uguali. In tal caso, detto \(r\) il rango, il sistema è determinato se \(n=r\), è invece indeterminato con \(\infty^{n-r}\) soluzioni, se \(r<n\). Esercitazione: sistemi lineari.
 Esercizi foglio 6: Sistemi lineari

LEZIONE 10
Argomenti: Un vettore applicato è individuato da un punto di applicazione, una direzione, un verso ed un modulo. L'insieme dei vettori geometrici applicati nel piano. Vettori geometrici liberi. Vettore nullo. Vettori equipollenti. Somma di due vettori (con la regola del parallelogramma o della poligonale) e moltiplicazione con scalare. Operazioni con i vettori liberi: somma e moltiplicazione con scalare reale. L'insieme dei vettori geometrici liberi del piano \(\mathcal{V}_2\), della retta  \(\mathcal{V}_1\) e dello spazio fisico \(\mathcal{V}_3\). Definizione astratta di gruppo abeliano. Esempi di gruppi additivi e moltiplicativi. Spazi vettoriali reali. Esempi di spazi vettoriali: \( M_{m,n}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}^n\),  \(\mathcal{V}^2\). Lo spazio vettoriale reale \(\mathbb{R}[x]\) dei polinomi a coefficienti reali nell'indeterminata \(x\). Principio di identità tra polinomi. Lo spazio vettoriale reale delle funzioni definite su un insieme non vuoto \(A\).

LEZIONE 11
Argomenti: In uno spazio vettoriale \(V\) il vettore nullo \(\mathbf{0}_V\) è unico; il simmetrico di un vettore \(v\in V\) è unico, lo si indica con \(-v\) ed è detto l'opposto di \(v\). Legge di annullamento del prodotto negli spazi vettoriali: presi \(\lambda\in\mathbb{R}\) e \(v\in V\), si ha che \(\lambda v=\mathbf{0}_V\) se e solo se \(\lambda=0_{\mathbb{R}}\) oppure \(v=\mathbf{0}_V\). Preso un vettore un vettore \(v\) di uno spazio vettoriale \(V\), si ha che \((-1)v=-v\). Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Un vettore è linearmente dipendente se e solo se è nullo. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali. Dei vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti. Se in un insieme di vettori alcuni di essi sono linearmente dipendenti, allora tutti sono linearmente dipendenti. Sottospazi vettoriali. Dato lo spazio vettoriale \(V\), gli insiemi \(\{\mathbf{0}_V\}\) e \(V\) sono sottospazi vettoriali di \(V\). Un sottospazio vettoriale contiene necessariamente il vettore nullo. Esempi di sottospazi vettoriali: matrici quadrate simmetriche \(S_n(\mathbb{R})\), antisimmetriche \(A_n(\mathbb{R})\) e diagonali \(D_n(\mathbb{R})\). L'insieme \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) dei polinomi di grado al più \(n\) con il polinomio nullo è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}[x]\).
Esercizi foglio 7: Dipendenza lineare
Esercizi foglio 8: Sottospazi vettoriali

LEZIONE 12
Argomenti: L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare di tipo \(m\times n\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^n\) se e solo se il sistema è omogeneo. Sia \(V\) uno spazio vettoriale e siano \(v_1,\ v_2,\,\dots, v_n\) vettori di \(V\), allora il sottoinsieme costituito dalle combinazioni lineari dei \(v_i\) è un sottospazio vettoriale di \(V\); esso è chiamato il sottospazio generato dai \(v_i\) ed è indicato con \(\mathcal{L}(v_1,\ v_2,\,\dots, v_n)\). Retta vettoriale. Piano vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati. Lo spazio \(\mathbb{R}[x]\) non è finitamente generato. Gli spazi \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\) e \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) sono finitamente generati. Dato lo spazio vettoriale \(V\), gli insiemi \(\{\mathbf{0}_V\}\) e \(V\) sono sottospazi vettoriali di \(V\).  Lo spazio \(\mathbb{R}[x]\) non è finitamente generato. Dato \(V\) uno spazio vettoriale e \(v_1, v_2,\,\dots, v_n\) vettori di \(V\), preso \(w\in\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\), allora si ha \(\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n, w)=\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\). Dati i vettori \(v_1, v_2,\,\dots, v_n\) linearmente indipendenti di \(V\), preso \(w\not\in\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\), allora i vettori \(v_1, v_2,\,\dots, v_n, w\) sono linearmente indipendenti. Una base di uno spazio vettoriale finitamente generato è un sistema di generatori linearmente indipendenti. Basi canoniche di \(\mathbb{R}^n\),  \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) e \(M_{m,n}(\mathbb{R})\). Le due condizioni per definire una base sono indipendenti (e vanno verificate entrambe).

LEZIONE 13
Argomenti: La dimensione di \(V\) indica il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che si possono trovare in \(V\). La dimensione di \(V\) indica il numero minimo di generatori di \(V\). Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(n\), allora \(\{v_1, v_2,\dots, v_n\}\) è una base di \(V\) se e solo se \(v_1, v_2,\dots, v_n\) sono linearmente indipendenti, se e solo se \(v_1, v_2,\dots, v_n\) sono generatori di \(V\). Teorema del completamento della base: Sia \(\{v_1, v_2,\dots, v_n\}\) una base di \(V\) e siano \(w_1, w_2, \dots, w_m\), con \(m<n\), vettori linearmente indipendenti  di \(V\); allora è possibile scegliere \(n-m\) vettori \(v'_1, v'_2, \dots, v'_{n-m}\) tra i \(v_i\) tali che  \(\{w_1, w_2,\dots, w_m, v'_1, \dots, v'_{n-m}\}\) sia una base di \(V\). Applicazioni del completamento della base. Siano \(w_1,w_2,\dots,w_m\) vettori di uno spazio vettoriale \( V\) di dimensione \(n\) e sia \(\mathcal B\) una base di \(V\). Sia \(A\in M_{m,n}(\mathbb R)\) la matrice che ha per righe le coordinate dei \(w_i\) rispetto a \(\mathcal B\). Allora \(\textrm{rk} A=r\) indica il massimo numero di vettori linearmente indipendenti tra i \(w_i\) ed \(r\) vettori linearmente indipendenti sono quelli corrispondenti alle righe di un qualsiasi minore non nullo di \(A\) di ordine \(r\). Inoltre, i \(w_i\) sono linearmente indipendenti se e solo se \(\textrm{rk} A=m\). Esercitazione.
Esercizi foglio 9: Basi e dimensione

LEZIONE 14
Argomenti: Esercitazione. Siano \(\mathcal B\) e \(\mathcal B'\) basi di uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita; la matrice di passaggio da \(\mathcal B\) a \(\mathcal B'\) è la matrice che si ottiene scrivendo in colonna ordinatamente le coordinate dei vettori di \(\mathcal B'\) in funzione di quelli di \(\mathcal B\). Teorema del cambiamento di coordinate nel passaggio da una base ad un'altra: siano \(P\) la matrice di passaggio dalla base \(\mathcal B\) alla base \(\mathcal B'\), \(P'\) la matrice di passaggio dalla base \(\mathcal B'\) alla base \(\mathcal B\), \(X\) la colonna delle coordinate di un vettore \(v\in V\) rispetto alla base \(\mathcal B\) e \(X'\) la colonna delle coordinate di \(v\) rispetto alla base \(\mathcal B'\), allora si ha che \(P'=P^{-1}\), \(X'=P^{-1}X\) e infine \(X=PX'\).

LEZIONE 15
Argomenti: Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione finita e \(W\) è un sottospazio di \(V\) allora \(\textrm{dim}W\leqslant\textrm{dim}V\). Inoltre \(\textrm{dim}W=\textrm{dim}V\) se e solo se \(W=V\). Equazioni cartesiane e parametriche di un sottospazio vettoriale. Il numero di parametri necessari per dare le equazioni parametriche di \(W\) è uguale alla dimensione di \(W\). Se \(n=\textrm{dim}V\), il numero minimo di equazioni cartesiane per descrivere \(W\) è \(n-\textrm{dim}W\). Esempi. Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) e \(W\) è un sottospazio di \(V\), il numero minimo di equazioni cartesiane necessarie per descrivere \(W\) è detto codimensione di \(W\) e \(\textrm{codim}W=n-\textrm{dim}W\). In particolare, per ogni sottospazio vettoriale \(W\) si ha \(n=\textrm{dim}W+\textrm{codim}W\). L'intersezione di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale. Equazioni cartesiane di \(U\cap W\) sono date dal sistema contenente equazioni cartesiane di \(U\) e di \(W\). In generale, l'unione di due sottospazi vettoriali non è un sottospazio vettoriale. La somma di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale ed è il più piccolo contenente l'unione dei due sottospazi. Un sistema di generatori per la somma dei sottospazi \(U\) e \(W\) è dato dall'unione di una base di \(U\) e una base di \(W\); per ottenere una base va poi applicato il metodo degli scarti successivi. Esercitazione.

LEZIONE 16
Argomenti: Teorema di Grassmann: Se \(U\) e \(W\) sono sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita, allora vale la formula di Grassmann \(\textrm{dim}(U+W)+\textrm{dim}(U\cap W)=\textrm{dim}U+\textrm{dim}W\). Esempi di applicazione della formula di Grassmann. Dati due sottospazi \(U\) e \(W\) si ha che \(U+W=W\) se e solo se \(U\cap W=U\) se e solo se \(U\subseteq W\). Somma diretta di due sottospazi. Formula di Grassmann per la somma diretta: \(\textrm{dim}(U\oplus W)=\textrm{dim}U+\textrm{dim}W\). Teorema della somma diretta: dati \(U\) e \(W\) sottospazi vettoriali, si ha che \(U\) e \(W\) sono a somma diretta se e solo se ogni vettore di \(U+W\) si scrive in maniera unica come somma di un vettore di \(U\) e di un vettore di \(W\). Siano \(T\), \(U\) e \(W\) sottospazi vettoriali, siano \(\mathcal {B}_U=\{u_1,\dots, u_m\}\) una base di \(U\) e \(\mathcal {B}_W=\{w_1,\dots, w_l\}\) una base di \(W\), allora \(T=U\oplus W\) se e solo se \(\{u_1,\dots, u_m,w_1,\dots,w_l\}\) è una base di \(T\). Sottospazi complementari. In uno spazio vettoriale finitamente generato ogni sottospazio ammette un complemento diretto (che non è unico in generale).
Esercizi foglio 10: Somma e intersezione di sottospazi

LEZIONE 17
Argomenti: Sistemi di riferimento affine nel piano. Coordinate affini di punti e vettori nel piano. Operazioni tra vettori in termini di coordinate. Presi due punti del piano \(A\) e \(B\), le coordinate del vettore \(\stackrel{\longrightarrow}{AB}\) sono date dalla differenza delle coordinate del punto finale \(B\) meno quelle del punto di applicazione \(A\); più in generale si ha che \(\stackrel{\longrightarrow}{AB}=v\) se e solo se \(B=A+v\) . Una retta nel piano è univocamente individuata da un suo punto e da un vettore ad essa parallelo. Vettore direzionale e parametri direttori di una retta. Equazione vettoriale di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0\in r\) ed un vettore direzionale \({v}\) di \(r\), allora un punto \(P\) del piano appartiene ad \(r\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}\), per qualche \(t\in \mathbb R\). Equazioni parametriche di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0(x_0,\,y_0)\in r\) ed un vettore direzionale \({v}(l,\,m)\) di \(r\), allora equazioni parametriche di \(r\) sono date da \(\begin{cases}x=x_0+l\,t\\y=y_0+m\,t   \end{cases}\). Equazione cartesiana di una retta: una retta nel piano è rappresentata da un'equazione del tipo \(ax+by+c=0\), con \(a\) e \(b\) non contemporaneamente nulli, e viceversa, ogni equazione di questo tipo ha per grafico nel piano una retta. La retta di equazione \(ax+by+c=0\) ha per vettore direzionale il vettore \((-b,a)\). Dati \(P_1(x_1,y_1)\) e \(P_2(x_2,y_2)\) due punti distinti del piano, la retta che li congiunge ha equazioni parametriche date da \(\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)\,t\\y=y_1+(y_2-y_1)\,t\end{cases}\) ed equazione cartesiana data da \(\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1\\x_2-x_1&y_2-y_1\end{vmatrix}=0\). Condizione di allineamento di tre punti. Rette parallele, rette coincidenti, rette parallele e distinte, rette incidenti. Posizione reciproca di due rette nel piano: siano date due rette \(r:\ ax+by+c=0\) e \(r':\ a'x+b'y+c'=0\), allora \(r\|r'\) se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=1\); in particolare sono parallele e coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=1\), sono parallele e distinte se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=1\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\); infine \(r\) ed \(r'\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\). La retta di equazione cartesiana \(ax+by+c=0\) ed una retta di vettore direzionale \((l,m)\) sono parallelel se e solo se \(al+bm=0\).
Esercizi foglio 11: Piano affine

LEZIONE 18
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 19
Argomenti: Richiami sulle proprietà elementari dello spazio euclideo tridimensionale. Punti allineati e punti complanari. Vettori allineati e vettori complanari. Tre vettori di \(\mathcal V^3\) sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari. Lo spazio \(\mathcal V_O^3\) ha dimensione tre. Lo spazio affine tridimensionale \(\mathbb A^3(\mathbb R)\). Sistema di riferimento affine e coordinate affini nello spazio. Coordinate di vettori liberi ed applicati. I punti \(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_n\) sono allineati (rispettivamente complanari) se e solo se la matrice che ha per righe ordinatamente le coordinate dei vettori \(\stackrel{\longrightarrow}{P_1P_2}\), \(\dots\), \(\stackrel{\longrightarrow}{P_1P_n}\) ha rango 1 (rispettivamente rango 2). Equazione vettoriale di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0\in r\) ed un vettore direzionale \({v}\) di \(r\), allora un punto \(P\) del piano appartiene ad \(r\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}\), per qualche \(t\in \mathbb R\). Equazioni paramtriche di una retta: una retta parallela al vettore \( v=(l,m,n)\) e passante per il punto \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) ha equazioni parametriche  \(\begin{cases}x=x_0+l\,t\\y=y_0+m\,t\\z=z_0+n\,t   \end{cases}\). Condizioni operative per l'allineamento di tre punti e per la complanarità di quattro punti. Equazione vettoriale di un piano: dato un piano \(\pi\), un punto \(P_0\in \pi\) e due vettori non linearmente indipendenti \(v\) e \(w\) \({v}\) paralleli a \(\pi\), allora un punto \(P\) appartiene a \(\pi\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}+t'\,w\), per qualche \(t,\,t'\in \mathbb R\). Equazioni parametriche di un piano: il piano parallelo ai vettori \( v=(l,m,n)\) e \( w=(l',m',n')\) e passante per il punto \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) ha equazioni parametriche  \(\begin{cases}x=x_0+l\,t+l\,t'\\y=y_0+m\,t+m\,t'\\z=z_0+n\,t+n\,t'\end{cases}\). Siano dati  \(P_1(x_1,y_1,z_1)\), \(P_2(x_2,y_2,z_2)\) e  \(P_3(x_3,y_3,z_3)\) tre punti non allineati dello spazio; il piano che li contiene ha equazioni parametriche date da \(\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)\,t+(x_3-x_1)\,t'\\y=y_1+(y_2-y_1)\,t+(y_3-y_1)\,t'\\z=z_1+(z_2-z_1)\,t+(z_3-z_1)\,t'\end{cases}\).
Tutti e soli i piani dello spazio sono rappresentati da un'equazione del tipo \(ax+by+cz+d=0\), con \(a,b,c\) non contemporaneamente nulli. Equazioni cartesiane di una retta nello spazio: tutte e sole le rette dello spazio sono definite da un sistema lineare di due equazioni in tre indeterminate del tipo \(\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\), con \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\). Una retta di equazioni cartesiane \(r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\) ha come vettore direzionale il vettore \(v_r=\left(\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix},\ -\begin{vmatrix}a&c\\a'&c'\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}\right)\).

LEZIONE 20
Argomenti: Piani coincidenti, piani paralleli e distinti, piani incidenti. I piani paralleli (in senso lato) si distinguono in piani propriamente paralleli e piani (paralleli e) coincidenti. Teorema di classificazione delle posizioni reciproche di due piani nello spazio: siano dati due piani \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\) e \(\pi':\ a'x+b'y+c'z+d'=0\); allora \(\pi\) e \(\pi'\) sono paralleli e distinti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=1\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}=2\); \(\pi\) e \(\pi'\) sono coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}=1\); \(\pi\) e \(\pi'\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\). Dato il piano \(\pi: \ ax+by+cz+d=0\), il vettore \(v=(a,b,c)\) è detto vettore di giacitura di \(\pi\) e i coefficienti \(a,\,b,\,c\) sono detti parametri giacitura. Piani paralleli hanno, a meno di un fattore moltiplicativo non nullo, gli stessi parametri di giacitura. Teorema di classificazione delle posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio: dati un piano  \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\) ed una retta \(r:\ \begin{cases}a'x+b'y+c'z+d'=0\\ a''x+b''y+c''z+d''=0\end{cases}\), si ha che \(r\) e \(\pi\) sono propriamente paralleli se e solo se \(\textrm{det}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{pmatrix}=0\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\end{pmatrix}=3\); si ha che \(r\subset\pi\) se e solo se  \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\end{pmatrix}=2\); risulta che \(r\) e \(\pi\) sono incidenti (in un solo punto) se e solo se \(\textrm{det}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{pmatrix}\neq0\). Un piano di giacitura \((a,b,c)\) ed una retta di parametri direttori \((l,m,n)\) sono paralleli se e solo se \(al+bm+cn=0\). Due rette sono parallele se e solo se hanno vettori direzionali proporzionali. Rette parallele sono complanari. Rette incidenti sono complanari. Rette sghembe. Teorema di classificazione delle posizioni reciproche di due rette nello spazio: date le rette \(r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\) e \(s:\ \begin{cases}a''x+b''y+c''z+d''=0\\ a'''x+b'''y+c'''z+d'''=0\end{cases}\) e prese le matrici \(A= \begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\\a'''&b'''&c'''\end{pmatrix}\) e \(B= \begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\\a'''&b'''&c'''&d'''\end{pmatrix}\), si ha che \(r\) e \(s\) sono sghembe se e solo se \(\textrm{det}B\neq0\),  \(r\) e \(s\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}B=\textrm{rk}A=3\), \(r\) e \(s\) sono propriamente parallele se e solo se \(\textrm{rk}B=3\) e \(\textrm{rk}A=2\), \(r\) e \(s\) sono coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}B=2\). Esercitazione.
Esercizi foglio 12: Spazio affine tridimensionale

LEZIONE 21
Argomenti: Esercitazione. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) è tale che \(F(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_W\) e \(F(-v)=-F(v)\), per ogni \(v\in V\). Le applicazioni lineari conservano le combinazioni lineari: data un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) e il vettore \(v=\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_k v_k\), allora \(F(v)=\lambda_1 F(v_1)+\dots+\lambda_k F(v_k)\). Due applicazioni lineari sono uguali se e solo se assumono gli stessi valori sui vettori di una base dello spazio di partenza. Applicazione nulla. Applicazione identica. Restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale. Applicazione lineare data dalla moltiplicazione a sinistra per una matrice. Restrizione di un'applicazione lineare.

LEZIONE 22
Argomenti: Teorema fondamentale di esistenza e unicità dell'applicazione lineare definita dai valori assunti sui vettori di una base (o teorema di estensione): dati gli spazi vettoriali \(V\) e \(W\), con \(V\) finitamente generato, presi \(\{v_1,\dots, v_n\}\) una base di \(V\) e \(\{w_1,\dots,w_n\}\) un sottinsieme di vettori qualsiasi di \(W\), allora esiste ed è unica l'applicazione lineare \(F:V\rightarrow W\) tale che \(F(v_1)=w_1,\,\dots,\,F(v_n)=w_n\).  Esempi di applicazione del teorema di estensione. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a due basi. Formule di calcolo in termini di coordinate e matrice associata. Teorema di rappresentazione.

LEZIONE 23
Argomenti: Legge del cambiamento della matrice associata. Insieme immagine di un'applicazione lineare. Se \(F:\ V\rightarrow W\) è un'applicazione lineare, allora \(\textrm{Im} F\) è un sottospazio vettoriale di \(W\). Se \(F:\ V\rightarrow W\) è un'applicazione lineare, allora \(\textrm{Im} F\) è un sottospazio vettoriale di \(W\); inoltre se \(V\) è finitamente generato ed ha dimensione \(n\) allora \(\textrm{dim Im}F\leqslant n\) e se \(\{v_1,\dots, v_n\}\) è una base di \(V\), allora \(\{F(v_1),\,\dots,\,F(v_n)\}\) è un sistema di generatori di \(\textrm{Im} F\). L'immagine diretta di un sottospazio del dominio sotto un'applicazione lineare è un sottospazio dell'insieme d'arrivo. La dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali finitamente generati eguaglia il rango della matrice associata. Un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{Im}F=W\), e se \(V\) e \(W\) sono finitamente generati, \(F\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{rk}A=\textrm{codim Ker}F\).

LEZIONE 24
Argomenti: Controimmagine di un vettore. La controimmagine sotto un'applicazione lineare tra spazi vettoriali finitamente generati è trovata risolvendo un sistema lineare. Nucleo di un'applicazione lineare. Il nucleo di un'applicazione lineare è un sottospazio vettoriale del dominio e se dominio e insieme di arrivo sono finitamente generati, la codimensione del nucleo è uguale al rango di una matrice associata all'applicazione. Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è banale. Teorema del rango: siano \(V\) e \(W\) spazi vettoriali, con \(V\) finitamente generato, e sia \(F:\ V\rightarrow W\) un'applicazione lineare, allora vale la formula della dimensione: \(\textrm{dim}V=\textrm{dim Im}(F)+\textrm{dim Ker}(F)\). Esempi di applicazione del teorema del rango. Data l'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) tra due spazi vettoriali finitamente generati, si ha che \(F\) è iniettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}V\), \(F\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}W\), infine \(F\) è biettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}W=\textrm{dim}W\).

LEZIONE 25
Argomenti: Sia \(F:\ V\rightarrow W\) un'applicazione lineare e sia \(\textrm{dim}V=\textrm{dim}W\), allora \(F\) è iniettiva se e solo se \(F\) è suriettiva, se e solo se \(F\) è biettiva. Sia \(F: V\longrightarrow W\) un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita, se \(\textrm{dim}V>\textrm{dim}W\) allora \(F\) non può essere iniettiva, se invece \(\textrm{dim}W>\textrm{dim}V\) allora \(F\) non può essere suriettiva. Sia data l'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) tra due spazi vettoriali finitamente generati e sia \(A\) una matrice associata ad \(F\), si ha che \(F\) è iniettiva se e solo se \(\textrm{rk}A=\textrm{dim}V\), \(F\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{rk}A=\textrm{dim}W\). Omomorfismi, endomorfismi, automorfismi di spazi vettoriali. Due spazi vettoriali finitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione \(n\) sono isomorfi ad \(\mathbb{R}^n\). Considerazioni sul significato del concetto di isomorfismo. Composizione di applicazioni. La composizione di applicazioni lineari è un'applicazione lineare. Teorema di composizione operatoria: date le applicazioni tra spazi vettoriali f.g. \(F:\ V\rightarrow W\) e  \(G:\ W\rightarrow U\) con matrici associate rispettivamente \(B\) e \(A\), allora l'applicazione \(G\circ F:\ V\rightarrow U\) ha come matrice associata la matrice \(AB\). Teorema di Kronecker per il rango del prodotto di matrici: se \(A\) e \(B\) sono due matrici allora \(\textrm{rk}AB\leqslant\textrm{min}\{\textrm{rk}A,\ \textrm{rk}B\}\). Se si moltiplica una matrice \(A\) a destra o a sinistra per una matrice invertibile, allora il rango di \(A\) resta invariato. Le matrici associate ad una applicazione lineare hanno lo stesso rango (che coincide con la dimensione dell'immagine).

LEZIONE 26
Argomenti: Esercitazione

LEZIONE 27
Argomenti: Applicazioni invertibili. Un'applicazione è invertibile se e solo se è biettiva. Un'applicazione lineare \(F\) tra due spazi vettoriali f.g. è invertibile se e solo se le matrici associate ad \(F\) sono invertibili; in particolare la matrice di \(F^{-1}\) è l'inversa della matrice di \(F\) (a patto di usare le stesse basi). Endomorfismi e automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici associate ad un endomorfismo. Matrici simili. Le matrici associate ad un endomorfismo sono simili tra loro, hanno lo stesso rango e lo stesso determinante. Un endomorfismo è automorfismo se e solo se tutte le sue matrici associate sono invertibili. Introduzione alla diagonalizzazione: motivazione e applicazioni. Endomorfismi diagonalizzabili e basi diagonalizzanti. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Gli autospazi di un endomorfismo sono sottospazi vettoriali di dimensione maggiore o uguale a 1. Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Un endomorfismo non è invertibile se e solo se ammette l'autovalore nullo, in particolare l'autospazio associato a 0 coincide con il nucleo dell'endomorfismo.
Esercizi Foglio n.13: Applicazioni lineari

LEZIONE 28
Argomenti: Ricerca di autovalori e autovettori. Un numero reale \(\lambda\) è autovalore per un endomorfismo \(F\) se e solo verifica l'equazione \(\textrm{det}(A-\lambda I_n)=0\), dove \(A\) è una matrice associata ad \(F\). Un vettore con coordinate \(X\in\mathbb{R}^n\) è un autovettore per \(F\) associato all'autovalore \(\lambda\) se e solo se le sue coordinate risolvono il sistema lineare omogeneo \((A-\lambda I_n)X=\mathbf{0}\). Matrice caratteristica. Polinomio caratteristico. Equazione caratteristica. Equazione secolare di Laplace. Teorema di invarianza del polinomio caratteristico: il polinomio caratteristico di un endomorfismo \(F\) non dipende dalla matrice di \(F\) scelta per calcolarlo. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.

LEZIONE 29
Argomenti: Molteplicità algebrica \(\textrm{m.a.}(\lambda)\) e molteplicità geometrica \(\textrm{m.g.}(\lambda)\) di un autovalore \(\lambda\). Un endomorfismo diagonalizzabile ha autovalori tutti reali (non necessariamente distinti). Se \(\lambda\) è un autovalore di un endomorfismo allora \(1\leqslant \textrm{m.g.}(\lambda)\leqslant \textrm{m.a.}(\lambda)\). Teorema fondamentale della diagonalizzabilità: un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita è diagonalizzabile se e solo se ammette autovalori tutti reali e per ciascuno di questi molteplicità geometrica e molteplicità aritmetica coincidono. Se un endomorfismo ammette autovalori distinti allora è diagonalizzabile.


LEZIONE 30
Argomenti: Molteplicità algebrica \(\textrm{m.a.}(\lambda)\) e molteplicità geometrica \(\textrm{m.g.}(\lambda)\) di un autovalore \(\lambda\). Un endomorfismo diagonalizzabile ha autovalori tutti reali (non necessariamente distinti). Se \(\lambda\) è un autovalore di un endomorfismo allora \(1\leqslant \textrm{m.g.}(\lambda)\leqslant \textrm{m.a.}(\lambda)\). Teorema fondamentale della diagonalizzabilità: un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita è diagonalizzabile se e solo se ammette autovalori tutti reali e per ciascuno di questi molteplicità geometrica e molteplicità aritmetica coincidono. Se un endomorfismo ammette autovalori distinti allora è diagonalizzabile. Diagonalizzabilità di matrici. Polinomio caratteristico, autovalori, autovettori, autospazi di una matrice quadrata. Una matrice quadrata è diagonalizzabile se e solo se essa è simile ad una matrice diagonale. Esempi di diagonalizzazione di applicazioni lineari e matrici.
Esercizi foglio n.14: Diagonalizzazione di endomorfismi.

LEZIONE 31
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 32
Argomenti: Forme bilineari su uno spazio vettoriale reale. Forma bilineare nulla. Forma bilineare standard su \(\mathbb{R}^n\). Una forma bilineare \(b\) su uno spazio vettoriale \(V\) è detta simmetrica se per ogni \(v,w\in V\) si ha che \(b(v,w)=b(w,v)\). Una forma bilineare \(b\) su uno spazio vettoriale \(V\) è antisimmetrica se e solo se per ogni \(v,w\in V\) si ha che \(b(v,w)=-b(w,v)\). La forma nulla è l'unica sia simmetrica che antisimmetrica. Il determinante delle matrici quadrate di ordine 2 è una forma bilineare antisimmetrica. La forma bilineare standard su \(\mathbb{R}^n\) è simmetrica. Il prodotto tra numeri reali è una forma bilineare simmetrica su \(\mathbb{R}\). Matrice di Gram associata ad una forma bilineare rispetto ad una base. Formule di calcolo in termini di coordinate e matrice associata. Legge di cambiamento della matrice associata ad una forma bilineare: sia \(b\) una forma bilineare su uno spazio f.g. \(V\), siano \(\mathcal B\) e \(\mathcal B'\) due basi di \(V\) con matrice di passaggio \(P\), siano poi \(A\) la matrice associata a \(b\) rispetto a \(\mathcal B\) e \(A'\) la matrice associata a \(b\) rispetto alla base \(\mathcal{B}'\), allora si ha \(A'=P^{T}AP\). Matrici congruenti. Le matrici associate ad una stessa forma bilineare sono congruenti tra loro. Rango di una forma bilineare. Forme degeneri e non. Le matrici associate ad una stessa forma bilineare hanno tutte lo stesso rango. Una forma bilineare è simmetrica (risp. antisimmetrica) se e solo se una sua matrice associata è simmetrica (risp. antisimmetrica).

LEZIONE 33
Argomenti: Restrizione di una forma bilineare. La simmetria e l'antisimmetria sono invarianti per congruenza. Quadrato di binomio generalizzato. Una forma bilineare \(b\) su uno spazio \(V\) è degenere se e solo esiste un vettore non nullo \(v\) tale che \(b(v,w)=0\), per ogni \(w\in V\); se e solo esiste un vettore non nullo \(v\) tale che \(b(w,v)=0\), per ogni \(w\in V\). Due vettori \(v\) e \(w\) si dicono ortogonali secondo una forma bilineare simmetrica \(b\) se \(b(v,w)=0\) e si scrive \(v\bot w\). Il vettore nullo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio. Vettori isotropi (ortogonali a sé stessi). L'insieme dei vettori isotropi non è in generale un sottospazio vettoriale, contiene il vettore nullo ed è unione di rette. Il sottospazio ortogonale \(S^\bot\) ad un insieme di vettori \(S\subset V\) è costituito da tutti i vettori di \(V\) ortogonali a tutti i vettori di \(S\). Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale. Il sottospazio ortogonale \(W^\bot\) di un sottospazio \(W\) f.g. è il sottospazio dei vettori ortogonali a tutti i vettori di una base di \(W\). Esempi di calcolo di sottospazi ortogonali.

LEZIONE 34
Argomenti: Teorema di Fourier: dato un vettore non isotropo \(v\in V\), si ha che \(V=v^\bot\oplus\mathcal{L}(v)\). Coefficiente di Fourier di \(w\) secondo un vettore non isotropo \(v\): \(\frac{b(v,w)}{b(v,v)}\). Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Forma quadratica nulla. Forma quadratica standard. Forma quadratica standard. Le forme quadratiche sono funzioni omogenee di secondo grado. Forma (bilineare) polare di una forma quadratica. Formula di polarizzazione: data una forma quadratica \(Q\) su uno spazio vettoriale \(V\), la forma bilineare polare di \(Q\) è data da \(b(v,w)=\frac12[Q(v+w)-Q(v)-Q(w)]\), per ogni \(v,w\in V\). Matrice asssociata ad una forma quadratica. Regole di calcolo in termini di matrice associata. Basi ortogonali e basi diagonalizzanti. Teorema di Gauss-Lagrange: Una forma bilineare è diagonalizzabile (rispetto ad una base ortogonale) se e solo se è simmetrica. Diagonalizzazione di forme quadratiche.

LEZIONE 35
Argomenti: Diagonalizzazione di forme quadratiche. Diagonalizzazione di matrici simmetriche (ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice diagonale). Legge di inerzia di Sylvester: data una forma quadratica \(Q\) di rango \(r\) su uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita, esistono un numero intero positivo \(p\) ed una base \(\left\{ v_1,\,\dots, v_n \right\}\) di \(V\) rispetto a cui la forma \(Q\) ha l'espressione \(Q(x_1,\,\dots,\,x_n)=x_1^2+\dots+x_p^2-x_{p+1}^2-\dots-x_r^2\); inoltre il numero \(p\) è indipendente dalla base scelta e dipende solo dalla forma \(Q\). Forma canonica di Sylvester di una forma quadratica. Basi di Sylvester. Indice di positività, indice di negatività, segnatura di una forma quadratica. Forme quadratiche (e forme bilineari simmetriche) definite positive, semidefinite positive, definite negative, semidefinite negative, indefinite. Forme quadratiche canoniche su \(\mathbb{R}^2\) e su \(\mathbb{R}^3\). Matrici simmetriche definite positive, semidefinite positive, definite negative, semidefinite negative, indefinite. Tutte le matrici simmetriche definite positive di ordine \(n\) sono congruenti alla matrice identica. Una matrice simmetrica \(A\) è definita positiva se e solo se esiste una matrice invertibile \(M\) tale che \(A=M^TM\).

LEZIONE 36
Argomenti: Esercitazione.
Esercizi foglio n. 15: Forme bilineari

LEZIONE 37
Argomenti: Esercitazione. Prodotti scalari. Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare standard su \(\mathbb{R}^n\). Norma (o lunghezza) di un vettore, \(\parallel v\parallel=\sqrt{v\cdot v}\). Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz: dati due vettori \(v\) e \(w\) si ha che \(|v\cdot w|\leqslant\parallel v\parallel \,\parallel w\parallel\). Proprietà della norma: la norma assume sempre valori positivi ed è nulla solo per il vettore nullo; la norma è positivamente omogenea di grado 1.

LEZIONE 38
Argomenti: Diseguaglianza triangolare. Angolo (convesso) compreso tra due vettori non nulli. Detto \(\theta\) l'angolo compreso tra due vettori non nulli \(v\) e \(w\), si ha che \(v\cdot w=\parallel v\parallel \,\parallel w\parallel \cos\theta\). Teorema di Pitagora. Versori. Normalizzazione di vettori. Basi ortogonali. Basi ortonormali. Dei vettori non nulli e a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Normalizzando i vettori di una base ortogonale si ottiene una base ortonormale. Procedimento ortogonale di Gram-Schmidt. Formule di calcolo del prodotto scalare e della norma di un vettore in termini delle coordinate rispetto ad una qualsiasi base ortonormale. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale. Teorema di decomposizione ortogonale: Dato un sottospazio vettoriale non nullo \(W\subseteq\mathbb R^n\), risulta che \(\mathbb R^n=W\oplus W^\bot\); in particolare si ha che \(\textrm{dim}W^\bot=n-\textrm{dim}W\). Proiezione ortogonale di vettori rispetto a un sottospazio.  Interpretazione geometrica del coefficiente di Fourier e del procedimento ortogonale di G.-S.

LEZIONE 39
Argomenti: Matrici ortogonali. Una matrice ortogonale è invertibile. Una matrice di ordine \(n\) è ortogonale se e solo se le sue righe (colonne) sono una base di ortonormale di \(\mathbb R^n\). Le matrici ortogonali hanno determinante uguale a \(\pm1\). Siano \(\mathcal B\) una base ortonormale di \(\mathbb R^n\), \(\mathcal B'\) un'altra base di \(\mathbb R^n\) e sia \(P\) la matrice di passaggio da \(\mathcal B\) a \(\mathcal B'\); allora la base \(\mathcal B'\) è ortonormale se e solo se \(P\) è una matrice ortogonale. Endomorfismi simmetrici di \(\mathbb R^n\). Siano dati due endomorfismi \(F\) e \(G\)  di \(\mathbb R^n\) tali che \(F(v)\cdot w=v\cdot G(w)\), per ogni \(v,w\in\mathbb R^n\), allora la matrice canonica di \(F\) è la trasposta della matrice canonica di \(G\). Un endomorfismo di \(\mathbb R^n\) è simmetrico se e solo se la sua matrice rispetto a una qualsiasi base ortonormale è una matrice simmetrica.  Un endomorfismo simmetrico trasforma vettori ortogonali ad un autovettore in vettori ortogonali allo stesso autovettore. Teorema spettrale: motivazione.Tereoma spettrale (per endomorfismi simmetrici): Ogni endomorfismo simmetrico di \(\mathbb R^n\) è diagonalizzabile rispetto ad una base ortonormale di suoi autovettori.
Esercizi foglio n.16: Spazi vettoriali euclidei

LEZIONE 40
Argomenti: Teorema spettrale (per matrici simmetriche): Ogni matrice simmetrica è sia simile che congruente ad una matrice diagonale, ovvero per ogni matrice simmetrica \(A\) esistono una matrice diagonale \(D\) ed una matrice ortogonale \(M\) tali che \(D=M^{-1}AM=M^{T}AM\). Se una matrice simmetrica di ordine \(n\) \(A\) ha \(r\) autovalori non nulli di cui \(p\) positivi ed  \(r-p\) negativi, allora la matrice \(A\) ha rango \(r\) e segnatura \(\textrm{sgn}(A)=(p,r-p)\). Teorema di Harriot-Descartes (regola dei segni di Cartesio): Sia \(f(x)\in\mathbb R[x]\) un polinomio a coefficienti reali non costante; allora il numero di radici reali positive di \(f(x)\) non supera il numero delle variazioni di segno dei coefficienti di \(f(x)\) (ordinati secondo le potenze decrescenti della \(x\)) ed  il numero di radici reali negative di \(f(x)\) non supera il numero delle variazioni di segno dei coefficienti di \(f(-x)\) (ordinati secondo le potenze decrescenti della \(x\)). Se un polinomio \(f(x)\in\mathbb R[x]\) ha solo radici reali (non nulle), il numero delle radici positive di \(f(x)\) è uguale al numero delle variazioni di segno ed il numero delle radici negative di \(f(x)\) è uguale al numero delle variazioni di segno dei coefficienti di \(f(-x)\). Una matrice simmetrica di rango \(r\) ha segnatura \((p,r-p)\) se e solo se nel suo polinomio caratteristico ci sono \(p\) variazioni di segno.
Esercizi foglio n.17: Forme quadratiche
Esercizi foglio n.18: Teorema spettrale

LEZIONE 41
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 42
Argomenti: Prodotto vettoriale in \(\mathbb R^3\). Il prodotto vettoriale è bilineare antisimmetrico. Il prodotto vettoriale di due vettori è nullo se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti. Prodotto misto di tre vettori. Il prodotto misto è lineare rispetto ai suoi argomenti e cambia segno per ogni scambio dei vettori che si moltiplicano. Il prodotto vettoriale di due vettori è ortogonale ad entrambi i fattori. Dati due vettori \(v\) e \(w\) di \(\mathbb R^3\), si ha che \(\parallel v\wedge w\parallel^2 =\parallel v\parallel ^2\,\,\parallel w\parallel^2-(v\cdot w)^2 \). Dati due vettori linearmente indipendenti \(v\) e \(w\), si ha che \(\left\{v,w,v\wedge w\right\}\) è una base di \(\mathbb{R}^3\). Siano dati due vettori non nulli \(v\) e \(w\) in \(\mathbb R^3\) e sia \(v=a+b\) con \(a\) parallelo a \(w\) e \(b\) perpendicolare a \(w\), allora \(\parallel v\wedge w\parallel = \parallel b\parallel \,\parallel w\parallel\). Il modulo del prodotto vettoriale di due vettori eguaglia l'area del parallelogramma sotteso dai due vettori. Dati tre punti nello spazio \(A,B,C\), l'area del triangolo \(ABC\) è data da \(\mathcal A= \frac12 \parallel\vec{AB}\wedge\vec{AC}\parallel\). Il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori nello spazio dà il volume del parallelepipedo sotteso ai tre vettori. Sistemi di riferimento cartesiano nel piano euclideo. Distanza tra due punti. Versore normale ad una retta.
Esercizi foglio n.19: Prodotto vetoriale
Esercizifoglio n.20: Piano euclideo

LEZIONE 43
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 44
Argomenti: Dati un punto \(P(x_0,\,y_0)\) e la retta \(r:\ ax+by+c=0\), la distanza di \(P\) da \(r\) vale \(d(P,r)=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Distanza tra rette parallele nel piano. Circonferenza nel piano. Spazio euclideo tridimensionale. Sistema di riferimento cartesiano. Distanza tra due punti. Dato il piano \(ax+by+cz+d=0\), il vettore di giacitura di \(\pi\), \(v_\pi=(a,b,c)\), è ortogonale al piano \(\pi\). Data una retta \(r\) di vettore direzionale \(v_r\) ed un piano \(\pi\) di giacitura \(v_\pi\), si ha che \(r\) è parallela a \(\pi\) se e solo se \(v_r\) e \(v_\pi\) sono ortogonali, \(r\) è ortogonale a \(\pi\) se e solo se \(v_r\) e \(v_\pi\) sono paralleli (proporzionali). Due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono le loro giaciture. Distanza di un punto da un piano: dati un punto \(P(x_0,\,y_0,\,z_0)\) e il piano \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\), la distanza di \(P\) da \(\pi\) vale \(d(P,\pi)=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Distanza di un punto da una retta. Distanza di una retta da un piano. Distanza tra due piani. Distanza tra due rette complanari. Proiezione ortogonale di un punto su un piano, di un punto su una retta. Teorema della perpendicolare comune: Date due rette sghembe \(r\) ed \(r'\), esiste ed è unica la retta \(s\) perpendicolare sia ad \(r\) che ad \(r'\) ed incidente sia \(r\) che \(r'\), inoltre la distanza tra i due punti di incidenza dà la distanza tra le due rette sghembe.
Esercizi foglio n.21: Spazio euclideo

LEZIONE 45
Argomenti: Sfera e circonferenza nello spazio. Esercitazione.
Esercizi foglio n.22: Sfere e circonferenze

LEZIONE 46
Argomenti: Una trasformazione (lineare) del piano affine è un'applicazione \(f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2\) tale che per ogni punto \(P(x,y)\) si abbia \(f(x,y)=(ax+by+c,\,\,a'x+b'y+c')\); inoltre ad una trasformazione lineare si associa la matrice \(A=\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}\) ed il vettore \(v=(c,c')\). Una trasformazione costante del tipo \(f(x,y)=(x_0,\,y_0)\) fa implodere tutto il piano nel punto \((x_0,y_0)\). La trasformazione identica \(f(x,y)=(x,y)\) lascia fissi tutti i punti, ha matrice associata identica e vettore associato nullo. Una traslazione è di tipo \(f(x,y)=(x+c,\,\,y+c')\), ha matrice associata identica e vettore associato \((c,c')\). Proiezione sull'asse \(x\): \(\Pi_x(x,y)=(x,0)\). Rotazione attorno all'origine di un angolo \(\vartheta\): \(\rho_\vartheta(x,y)=(\cos\vartheta\,x-\sin\vartheta\,y;\ \sin\vartheta\,x+\cos\vartheta\,y)\). Dilatazioni. Simmetria centrale rispetto ad un punto \(C=(x_C,\,y_C)\): \(\sigma_C(x,y)=(2x_C-x,\,\,2y_C-y)\). La simmetria centrale rispetto a \(C\) è una rotazione di \(180^\circ\) attorno al punto \(C\). Simmetria rispetto all'asse \(x\): \(\sigma_x(x,y)=(x,\,-y)\). Interpretazione geometrica di autovalori ed autovettori di omomorfismi di \(\mathbb R^2\). Un'affinità è una trasformazione lineare del piano con amtrice associata invertibile. Un'isometria è un'affinità con matrice associata ortogonale. Se \(f\) è un'isometria, allora conserva le distanze e le lunghezze, cioè \(\parallel \stackrel{\longrightarrow}{f(P)f(Q)}\parallel=\parallel\stackrel{\longrightarrow}{PQ} \parallel\), per ogni coppia di punti \(P\) e \(Q\) del piano. La composizione di affinità è un'affinità. La composizione di isometrie è un'isometria. Equazione generale di una rototraslazione.
Esercizi foglio n.23: Trasformazioni geometriche del piano

LEZIONE 47
Argomenti: Equazione generale di una rototraslazione. Trasformazioni di rette e curve per azione di una trasformazione lineare. Una conica è un insieme dei punti del piano le cui coordinate \((x,y)\) verificano un'equazione di secondo grado di tipo: \(\mathscr C: a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{01}x+2a_{02}y+a_{00}=0\), con \(a_{ij}\in\mathbb R\) e \(a_{11},a_{12},a_{22}\) non contemporaneamente nulli. Matrice (simmetrica) associata ad una conica: data la conica \(\mathscr C\) di equazione come sopra, la matrice associata a \(\mathscr C\) è la matrice simmetrica \(A=\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\), in cui \(a_{01}=a_{10},\ a_{02}=a_{20},\ a_{21}=a_{12}\). Se \(A\) è la matrice associata alla conica \(\mathscr C\), allora si ha che \(\mathscr C\) ha equazione: \(\mathscr C:(1,x,y)A\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}=0\). Rango di una conica. Coniche non degeneri, coniche degeneri, semplicemente degeneri e doppiamente degeneri. Matrice e forma quadratica associata ad una conica: \(Q=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\) e \(Q(x,y)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy\). Tipo di una conica: coniche di tipo ellittico, iperbolico e parabolico. Sia \(f\) un'isometria del piano euclideo, sia \(f^{-1}(x,\,y)=M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\), con \(M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}\), la trasformazione inversa di \(f\), sia data la matrice \(S=\begin{pmatrix}1&0&0\\c_1&m_{11}&m_{12}\\c_2&m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}\), allora presa la conica \(\mathscr C\) con matrice associata \(A\) e matrice quadratica \(Q\) e dette \(A'\) la matrice associata alla trasformata \(f(\mathscr C)\) di \(\mathscr C\) sotto l'azione di \(f\) e \(Q'\) la matrice quadratica di \(f(\mathscr C)\), si ha che \(\lambda A'=S^TA\,S\) e \(\lambda Q'=M^TQ\,M\), per qualche \(\lambda\in\mathbb R\). Teorema di invarianza: data una conica \(\mathscr C\) con matrice associata \(A\) e matrice quadratica \(Q\), se \(\mathscr C'\) è la trasformata di \(\mathscr C\) sotto l'azione di un'isometria e \(A'\) e \(Q'\) sono le matrici associate ad essa, si ha che \(\textrm{rank} A=\textrm{rank} A'\), \(\textrm{det} Q=\textrm{det} Q'\), \(\textrm{sgn} Q=\textrm{sgn} Q'\). Il tipo e il rango di una conica sono invarianti euclidei (per effetto di isometrie). Teorema di classificazione: ogni conica euclidea è isometrica (o congruente) ad una soltanto delle nove forme canoniche, ovvero si può sempre trovare un'isometria che trasforma la conica data nella sua forma canonica.

LEZIONE 48
Argomenti: Esercitazione.
Esercizi foglio n.24: Coniche euclidee