MATEMATICA II CORSO
Facoltà di Ingegneria dell'Informazione, Informatica e Statistica
Sapienza Università di Roma
Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia e Società
Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni
Corso di Laurea Triennale in Statistica Gestionale
A.A. 2017/2018

 

AVVISI


-    Esiti della prova scritta di Aprile. Sono sufficienti solo le prove seguenti:
  • 1522141       18
  • 1692669       18
  • 1660609       18

Gli studenti sono convocati Martedì 9 Aprile alle ore 18:30 presso lo studio del docente per visionare le prove scritte e verbalizzare il voto di esame. Chi non può presenziare è pregato di avvisare il docente comunicando la rinuncia o l'accettazione del voto. Non saranno verbalizzate bocciature.




 Docente:  prof. Antonio Cigliola

 
Ricevimento


Orario delle lezioni:

Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni
Lunedì         17:00 - 19:00        aula 15    [palazzina CU0035]
Martedì        15:00 - 17:00        aula 15
Martedì        17:00 - 19:00        aula 15
Mercoledì    17:00 - 19:00        aula 15


Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia e Società
Corso di Laurea Triennale in Statistica Gestionale
 Lunedì         15:00 - 17:00        aula 15    [palazzina CU0035]
Mercoledì    15:00 - 17:00        aula 15
Venerdì          8:30 - 10:00        aula III    [Dipartimento di Statistica]
Venerdì        15:00 - 17:00        aula 15



Prerequisiti: 
Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Goniometria e trigonometria. Geometria Analitica di base. Algebra lineare.


Programma di massima del corso:
Fondazione dei numeri reali: assiomi di campo numerico, assiomi di ordinamento, assioma di continuità. Topologia della retta reale. Proprietà dei numeri reali. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari: grafici e proprietà. Limiti di funzioni. Continuità delle funzioni. Calcolo differenziale. Asintoti. Grafici di funzioni reali di una variabile reale. Formula di Taylor e formula di Mac-Laurin. Successioni numeriche. Serie numeriche. Calcolo integrale. Equazioni differenziali.


Modalità d'esame:
L'esame comprende una prova scritta di intercorso facoltativa, una prova scritta obbligatoria ed un colloquio orale obbligatorio.


Tracce d'esame:


Libro di testo adottato e materiale didattico consigliato:

Valutazioni del corso da parte degli studenti:     .pdf 


DIARIO DELLE LEZIONI:

LEZIONE 1
Argomenti: Presentazione del corso e conoscenza della classe. Introduzione alla logica elementare. Linguaggio formale. Concetti primitivi e postulati. Proposizioni elementari. Connettivi logici: congiunzione, disgiunzione, negazione, implicazione e equivalenza logica. Condizioni necessarie e sufficienti. Tavole di verità. Leggi di De Morgan, doppia negazione, idempotenza, commutatività, principio del terzo escluso e di non contraddizione. Tautologie e contraddizioni. Tecniche dimostrative: dimostrazione diretta, dimostrazione della contronominale, dimostrazione per assurdo. Logica predicativa. Predicati e variabili. Quantificatore esistenziale e quantificatore universale. Negazione dei quantificatori.

LEZIONE 2
Argomenti:  Insiemi ed elementi. Rappresentazione di insiemi. Inclusione ed uguaglianza tra insiemi. Insieme vuoto. Unione, intersezione e differenza tra insiemi. Complementare di un insieme. Proprietà delle operazioni tra insiemi. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano di insiemi. Assiomi di Peano e fondazione dell'aritmetica.
Esercizi foglio 1: Logica e insiemistica

LEZIONE 3
Argomenti: Insiemi numerici: \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Q\). Numeri decimali periodici. Irrazionalità di \(\sqrt 2\). Postulato dell'esistenza di un campo ordinato e completo: l'insieme dei numeri reali: \((\mathbb R,\ +,\ \cdot,\ \leqslant)\). Assiomi di campo, assiomi di ordinamento e assioma di continuità. Proprietà delle operazioni: unicità dello zero, di uno, dell'opposto e dell'inverso; leggi di cancellazione; legge di annullamento del prodotto. Proprietà dell'ordinamento. Introduzione delle relazioni d'ordine \(\geqslant,\ <,\ >\). Numeri positivi e numeri negativi. Regola dei segni. Principi di equivalenza delle disuguaglianze.

LEZIONE 4
Argomenti: Applicazione dell'assioma di continuità per provare che \(\sqrt 2\in\mathbb R\). Teorema della radice \(n\)-esima. Intervalli di \(\mathbb R\). Valore assoluto. Proprietà. Disuguaglianza triangolare.

LEZIONE 5
Argomenti: Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Unicità del massimo e del minimo. Maggioranti e minoranti. Insiemi limitati superiormente. Insiemi limitati inferiormente. Insiemi limitati. Insiemi illimitati inferiormente. Insiemi illimitati superiormente. Caratterizzazione degli insiemi limitati. Estremo superiore. Estremo inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Teorema di esistenza dell'estremo inferiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo superiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo inferiore.
Esercizi foglio 2: Numeri reali

LEZIONE 6
Argomenti: Introduzione dei simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) per indicare estremo superiore ed inferiore di insiemi illimitati superiormente e insiemi illimitati inferiormente. Prorpietà di Archimede. Proprietà di densità di \(\mathbb Q\) in \(\mathbb R\). Proprietà di densità di \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) in \(\mathbb R\). Introduzione alla topologia della retta reale. Distanza euclidea sulla retta reale. Proprietà. Intorni di punti reali. Intersezioni e unioni di intorni. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera di un sottoinsieme di \(\mathbb R\). Parte interna, parte esterna, frontiera di un sottoinsieme di \(\mathbb R\). Esempi vari.

LEZIONE 7
Argomenti: Punti di accumulazione, punti isolati di un sottoinsieme di \(\mathbb R\). Esempi vari. Funzioni. Funzione identica. Funzione costante. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni definite a tratti. Funzione di Dirichlet. Principio di uguaglianza tra funzioni. Restrizione di una funzione.
Esercizi foglio 3: Topologia della retta reale

LEZIONE 8
Argomenti: Dominio naturale (insieme di definizione) di una funzione. Immagine di un sottoinsieme del dominio. Controimmagine di un elemento e di un sottoinsieme dell'insieme di arrivo. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni monotone. Funzioni pari e dispari.

LEZIONE 9
Argomenti: Funzioni invertibili. Proprietà della funzione inversa e delle funzioni invertibili. Una funzione è invertibile se e solo se è biettiva. Costruzione delle inverse di funzioni invertibili. Grafici di funzioni: come interpretarli per dedurre la non iniettività, l'insieme immagine e il grafico della funzione inversa. Grafici di funzioni elementari. Funzioni lineari, funzione costante e funzione valore assoluto. Funzioni potenze e funzioni radici. Funzioni goniometriche e funzioni goniometriche inverse. Funzione esponenziale e funzione logaritmo.

LEZIONE 10
Argomenti: Funzione segno. Funzione parte intera. Funzione parte frazionaria. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo di una funzione reale. Punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Punti estremanti. Segno di una funzione.

LEZIONE 11
Argomenti: Esercitazione.
Esercizi foglio 4: Equazioni e disequazioni

Esercizi foglio 5: Funzioni

LEZIONE 12
Argomenti: Limiti di funzioni reali di una variabile reale. Osservazioni e considerazioni sulla definizione. Verifica dei limiti applicando la definizione. Limiti infiniti.

LEZIONE 13
Argomenti: Limiti all'infinito. Intorni di \(+\infty\). Intorni di \(-\infty\). Retta reale estesa. Definizione topologica di limite.
Esercizi foglio 6: Limiti di funzioni

LEZIONE 14
Argomenti: Se una funzione \(f(x)\) ammette limite \(l\), allora la funzione \(-f(x)\)ammette limite \(-l\) e la funzione \(f(x)-l\) ammette limite \(0\). Esempi di funzioni che non ammettono limite. Teorema di unicità del limite. Teoremi di permanenza del segno. Teoremi del confronto. Teorema dei carabinieri. Applicazioni.

LEZIONE 15
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 16
Argomenti: Prova scritta in itinere per SEFA.

LEZIONE 17
Argomenti: Prova scritta in itinere per SES ed SG.

LEZIONE 18
Argomenti: Se la funzione \(f(x)\) ammette limite \(l\), allora la funzione \(|f(x)|\)ammette limite \(|l|\). Non vale in generale il viceversa. Teoremi di addizione e sottrazione dei limiti. Forme indeterminate di tipo \([+\infty-\infty]\). Lemma di limitatezza locale. Teoremi di moltiplicazione dei limiti. Forme indeterminate del tipo \([0\cdot \infty]\). Teorema sul limite della funzione reciproco. Limiti della potenza \(n\)-esima di una funzione.

LEZIONE 19
Argomenti: Limiti di funzioni polinomiali. Limite del rapporto di funzioni. Forme indeterminate di tipo \(\left[\frac00\right]\) e \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\). Limite destro e limite sinistro. Teorema fondamentale di esistenza del limite in termini di limite destro e limite sinistro. Teoremi sui limiti di funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari.

LEZIONE 20
Argomenti: Funzioni continue. La somma, la differenza, il prodotto, il reciproco (dove definito) e il rapporto (dove definito) di funzioni continue sono funzioni continue. Esempi di funzioni non continue. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di continuità della composta di funzioni continue. Continuità delle funzioni potenza ad esponente irrazionale. Teorema di continuità della funzione inversa.
Esercizi foglio 7: Funzioni continue

LEZIONE 21
Argomenti: Esercitazione: calolo di limiti. Limiti notevoli.
Esercizi foglio 8: Calcolo dei limiti

LEZIONE 22
Argomenti: Punti di discontinuità di una funzione. Discontinuità eliminabili. Discontinuità di tipo salto. Discontinuità di seconda specie. Esercitazione.
Esercizi foglio 9: Discontinuità

LEZIONE 23
Argomenti: Teorema di permanenza del segno per le funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri di Bolzano. Teorema dei valori intermedi di Darboux. Teorema di D'Alembert (per gli zeri di un polinomio a coefficienti reali). Teorema di Harriot-Descartes.

LEZIONE 24
Argomenti: Introduzione alle derivate. Motivazione geometrica e breve storia della disputa Leibnitz-Newton. La derivata di una funzione in un punto. Funzione derivata. Esempi di calcolo. Se una funzione è derivabile in un punto, allora è anche continua in quel punto. La funzione valore assoluto è continua ma non è derivabile in zero. Derivata destra e derivata sinistra in un punto. Teorema di derivazione della somma di funzioni. Teorema di derivazione del prodotto di due funzioni. Esempi vari.

LEZIONE 25
Argomenti: Teorema di derivazione della funzione reciproco. Teorema di derivazione del rapporto di due funzioni. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. Derivate delle funzioni circolari inverse. Derivate di ordine superiore al primo. Classi di regolarità di funzioni reali. Esercitazione.
Esercizi foglio 10: Derivate

LEZIONE 26
Argomenti: Differenziali. Teorema di Rolle. Teorema del valor medio di Lagrange. Interpretazione geometrica. Se una funzione definita su un intervallo ha derivata nulla, allora essa è costante su tale intervallo. Due funzioni che hanno la stessa derivata su un intervallo si differiscono per una costante.

LEZIONE 27
Argomenti: Se una funzione continua ha derivata positiva (negativa) su un intervallo, allora è crescente (decrescente) su tale intervallo. Inversione debole. Teorema di De l'Hopital. Criterio di derivabilità. Esempi ed esercizi.
Esercizi foglio 11: Teoremi sulla derivabilità

LEZIONE 28
Argomenti: Punti di massimo e di minimo locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat (per i punti di massimo e minimo locali interni al dominio). Criterio del prim'ordine. Criterio del second'ordine. Funzioni concave e convesse. Studio della convessità di una funzione per mezzo della derivata seconda. Punti di non derivabilità. Punti angolosi. Punti di flesso a tangente verticale. Punti di cuspide.
Esercizi foglio 12: Applicazioni del calcolo differenziale

LEZIONE 29
Argomenti: Asintoti orizzontali. Asintoti verticali. Asintoti obliqui. Metodi di calcolo degli asintoti. Studio del grafico di una funzione reale.
Esercizi foglio 13: Studi di funzione

LEZIONE 30 
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 31
Argomenti: Calcolo integrale: motivazione storica. Calcolo dell'area di un rettangoloide sotteso ad una funzione limitata definita su un intervallo chiuso e limitato. Partizione di un intervallo limitato. Somma integrale inferiore e somma integrale superiore relativa ad una partizione. Esempio di calcolo per una funzione costante. Le classi delle somme integrali superiori e delle somme integrali inferiori sono separate. Funzioni integrabili secondo Riemann. La funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann. Le funzioni continue e le funzioni monotone, definite su un intervallo chiuso e limitato, sono integrabili secondo Riemann.

LEZIONE 32
Argomenti: Additività dell'integrale definito rispetto al dominio. Linearità dell'integrale definito rispetto alla funzione integranda. Proprietà di monotonia e di posititività dell'integrale definito. Diseguaglianza triangolare generalizzata per l'integrale definito. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale (di Torricelli-Barrow). Primitiva di una funzione. Due primitive di una funzione differiscono per una costante. Teorema di Newton (formula fondamentale del calcolo integrale). 

LEZIONE 33
Argomenti: Integrali indefiniti. Proprietà di linearità dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti delle funzioni elementari. Integrali immediati. Integrali di tipo logaritmo e di tipo arcotangente.

LEZIONE 34
Argomenti: Integrazione di funzioni razionali. Esercizi vari.

LEZIONE 35
Argomenti: Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Esercitazione. 
Esercizi foglio 14: Integrali  

LEZIONE 36
Argomenti: Aree di regioni piane. Integrali impropri di funzioni continue e positive definite su intervalli di tipo \([a,+\infty)\) e su intervalli di tipo \((a,b]\) oppure \([a,b)\). Convergenza degli integrali di tipo \( \displaystyle\int\frac1{t^{\alpha}}dt\) in un intorno di \(0\) o in un intorno di \(+\infty\). Misura di regioni del piano infinitamente estese.
Esercizi foglio 15: Integrali impropri

LEZIONE 37
Argomenti: Teorema del confronto per gli integrali impropri. Teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri. Confronto di infinitesimi in un intorno di un punto. Notazione "o-piccolo" di Landau. Formula di Taylor (con il resto di Peano). Formula di Mac-Laurin (con il resto di Peano). Applicazioni varie.
Esercizi foglio 16: Formula di Taylor

LEZIONE 38
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 39
Argomenti: Successioni numeriche reali. Successioni convergenti, divergenti positivamente, divergenti negativamente. Esempi di verifica del limite di una successione. Comportamento definitivo di una successione. Estensione reale di una successione e legame con il limite della successione. Limiti notevoli in termini di successioni. Esempi di applicazione dei teoremi del confronto alle successioni. Fattoriale e limiti di successioni che lo coinvolgono. Successioni crescenti, successioni decrescenti. Limiti di successioni monotone. Calolo del limite di una funzione in un punto \(y_0\) in termini del limite delle immagini delle successioni convergenti ad \(y_0\). Applicazione alla continuità di una funzione. Esempi di applicazione per la non esistenza di un limite di funzione.    
Esercizi foglio 17: Successioni numeriche

LEZIONE 40
Argomenti: Serie numeriche. Cenni storici e motivazione. Serie e successione delle somme parziali \(n\)-esime. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie di Mengoli. Serie armonica. Serie armonica generalizzata. Serie geometrica. Condizione necessaria di convergenza per una serie. Operazioni con le serie.

LEZIONE 41
Argomenti: Serie a termini positivi. Le serie a termini positivi convergono o divergono positivamente. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Serie a termini di segno qualsiasi. Assoluta convergenza di una serie. L'assoluta convergenza implica la convergenza di una serie. Serie a segno alterno. Criterio di convergenza di Leibnitz.
Esercizi foglio 18: Serie numeriche

LEZIONE 42
Argomenti: Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Problemi di Cauchy. Interpretazione geometrica. Equazioni differenziali a variabili separabili.

LEZIONE 43
Argomenti: Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. La soluzione generale di un'equazione non omogenea è data dalla somma di una soluzione particolare dell'equazione più la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Risoluzione di un'equazione omogenea.

LEZIONE 44
Argomenti: Metodo della somiglianza (o dei coefficienti indeterminati) per la soluzione di un'equazione non omogenea. Analisi di vari casi. Problemi di Cauchy del secondo ordine.
Esercizi foglio 19: Equazioni differenziali

LEZIONE 45
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 46
Argomenti: Esercitazione.