AM210 - Analisi matematica 3


Docente: Michela Procesi

Esercitatore: Fabio Felici

Tutorato:  Davide Ciaccia- Jacopo Tenan link esercizi


AA 2019-20 - I Semestre

 


Libri consigliati: Chierchia, Analisi Matematica II, Giusti II.

Ricevimento: Venerdi 14.30/ 16  

I Esonero  V1, V2   (mettero' le soluzioni assieme ai risultati dopodomani ) NB.  ho deciso di valutare ciascun esercizio 12 punti.  Risultati (senza soluzioni scusate) correzione dell'esonero il 15/11 ore 15

vedere anche il sito dell'anno scorso
Programma del corso (vedere poi anche il diario delle lezioni)


1. Funzioni di n variabili reali
Spazi vettoriali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza, topologia standard, compattezza in Rn .

Funzioni continue da Rn in Rm. Continuita' ed uniforme continuita'. Teorema di Weierstrass.
Definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili,
gradiente, Prop.5.21: una funzione differenziabile continua e ha tutte le derivate direzionali.
Teorema del differenziale totale Lemma di Schwarz, (senza dim). Funzioni Ck, regola della catena . Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi
Matrici definite positive. I punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la
matrice Hessiana e’ definita positiva (negativa) sono punti di minimo (massimo); i punti critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.
Funzioni differenziabili da Rn ad Rm; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della composizione.

2. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi. Successioni convergenti e di Cauchy . Norme equivalenti . Equivalenza delle norme in Rn. Lo spazio delle
funzioni continue con la norma del sup uno spazio di Banach. Esponenziale di matrice.
Equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti (Oss. 6.8). Serie di Neumann
(Oss. 6.9).
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach Teo. 6.10

3. Funzioni implicite
Il teorema delle funzioni implicite Teo. 7.1 (con la Prop. 7.4 e il Teorema della Funzione Inversa).
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (Prop. 7.9).

4. Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione con l’esponenziale di matrice), sistemi conservativi unidimensionali.
Teorema di esistenza e unicita’ (Teo 8.8). Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali Prop. 8.10.
L’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari di ordine n
forma uno spazio vettoriale n-dimensionale (vedi paragrafo 8.5). Wronskiano, variazione di costanti.



Chi ha superato gli esoneri puo' presentarsi all'orale in una qualsiasi sessione dell'anno. Chi ha superato lo scritto di gennaio deve sostenere l'orale entro la sessione di febbraio. I fisici che hanno superato gli esoneri possono fare un orale per la prima parte del programma, se non hanno superato gli esoneri possono provare a recuperare la prima parte dello scritto presentandosi alla sessione scritta di febbraio.

                                                                                                                                                                                                                                                         
Esoneri: Gli esoneri saranno nei giorni: 
12/11/2019  ore 14
15/01/2020 ore 14

 


                                                                                                                                                                                                                                                         



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                


 Soluzioni

Alcuni esercizi si possono trovare sul sito di Pietro Baldi sotto la voce materiale didattico.  Esercizi meditativi