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Corso di AM450 - Analisi Funzionale (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2019-20)

Programma di massima:

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali. Dispense 1, Dispense 2, Esercizi, Soluzioni.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze. Dispense, Esercizi, Soluzioni.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni. Dispense, Esercizi, Soluzioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità, riflessività e uniforme convessità. Dispense.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali. Dispense.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali. Dispense.

Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezioni 1-2-3 (25/02/2020): Introduzione al corso; definizioni di (semi)norme, equivalenza, spazio di Banach; applicazioni lineari, caratterizzazione delle applicazioni lineari continue.

Lezioni 4-5 (27/02/2020): Isometrie; spazi duali; prodotti scalari e spazi di Hilbert; ortogonalità.

Lezioni 6-7-8 (03/03/2020): Proprietà dell'ortogonale; proiezione su un chiuso convesso; proiezione su un sottospazio lineare chiuso.

Lezioni 9-10 (12/03/2020, online): Teorema di Riesz-Fréchet sul duale di uno spazio di Hilbert; sistemi ortonormali, serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel. Traccia.

Lezioni 11-12 (17/03/2020, online): Sistemi ortonormali completi; caratterizzazione dei sistemi ortonormali; isometria tra spazi di Hilbert e spazi L2; estensione di funzionali definiti su un sottospazio denso. Traccia.

Lezioni 13-14-15 (20/03/2020, online): Teorema di Hahn-Banach, applicazione agli spazi duali; immersione isometrica nel bi-duale, spazi riflessivi. Traccia.

Lezioni 16-17 (24/03/2020, online): Funzionale di Minkowski di un insieme convesso, proprietà separazione di insiemi convessi, I forma geometrica del Teorema di Hahn-Banach. Traccia.

Lezioni 18-19-20 (27/03/2020, online): II forma geometrica del Teorema di Hahn-Banach; ortogonalità in spazi di Banach; Insiemi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire; Teorema di Banach-Steinhaus. Traccia.

Lezioni 21-22 (31/03/2020, online): Applicazioni del Teorema di Banach-Steinhaus: limiti di mappe lineari, convergenza delle serie di Fourier per funzioni continue; Teorema della mappa aperta. Traccia.

Lezioni 23-24 (03/04/2020, online): Continuità dell'inverso di un operatore lineare continuo; Teorema del grafico chiuso; complementare di un sottospazio lineare chiuso, equivalenza con l'esistenza di una proiezione. Traccia.

Lezioni 25-26 (07/04/2020, online): Condizione sufficiente per l'esistenza di una proiezione; caratterizzazione delle mappe suriettive/iniettive con inverso destro/sinistro continuo; esempio di mappa suriettiva senza inverso destro continuo. Traccia.

Lezioni 27-28 (17/04/2020, online): Esercizio 3 del primo foglio, esercizio 1 del secondo foglio, esercizio 3 del terzo foglio, esercizio 3 dell'esonero dello scorso anno. Traccia.

Lezioni 29-30 (21/04/2020, online): Convergenza debole, definizione e proprietà topologia debole, definizione e proprietà. Traccia.

Lezioni 31-32 (24/04/2020, online): Proprietà della topologia debole, caratterizzazione dei chiusi convessi; definizione e proprietà di convergenza e topologia debole*. Traccia.

Lezioni 33-34 (28/04/2020, online): Differenze tra topologia debole e topologia debole*; Teorema di Banach-Alaoglu; Lemma di Goldstine, Teorema di Kakutani. Traccia.

Lezioni 35-36 (30/04/2020, online): Relazione tra riflessività e separabilità spazi uniformemente convessi, Teorema di Milman-Pettis. Traccia.

Lezioni 37-38 (05/05/2020, online): Caratterizzazione della convergenza in spazi uniformemente convessi; Disuguaglianza di Hanner, uniforme convessità degli spazi Lp; esercizio 1 dell'esonero dello scorso anno. Traccia.

Lezioni 39-40 (08/05/2020, online): Derivate deboli, caratterizzazione dell'esistenza di una derivata debole; spazi di Sobolev, completezza. Traccia.

Lezioni 41-42 (12/05/2020, online): Caratterizzazione degli spazi di Sobolev; operatori compatti; immersioni continue, immersioni compatte. Traccia.

Lezioni 43-44 (15/05/2020, online): Teorema di immersione di Sobolev; funzioni di Sobolev nulle al bordo, disuguaglianza di Poincaré. Traccia.

Lezioni 45-46 (19/05/2020, online): Densità delle funzioni lisce a supporto compatto negli spazi di Sobolev; definizione di soluzioni deboli, regolarità. Traccia.

Lezioni 47-48 (22/05/2020, online): Soluzioni come punti di minimo di un funzionale; esistenza e unicità di soluzioni deboli; operatore risolvente. Traccia.

Lezioni 49-50 (26/05/2020, online): Spazi di Banach e di Hilbert complessi; spettro puntuale, continuo e residuo; proprietà dello spettro. Traccia.

Lezioni 51-52 (29/05/2020, online): Esempi di spettri di operatori; definizione di raggio spettrale, caratterizzazione. Traccia.

Lezioni 53-54 (03/06/2020, online): Proprietà degli operatori del tipo identità meno compatto; alternativa di Fredholm per operatori compatti. Traccia.

Lezioni 55-56 (08/06/2020, online): Teorema spettrale per operatori compatti, esempi; operatore aggiunto. Traccia.

Lezioni 57-58 (09/06/2020, online): Proprietà dell'operatore aggiunto; operatori autoaggiunti, proprietà. Traccia.

Lezioni 59-60 (12/06/2020, online): Proprietà degli operatori autoaggiunti; Teorema spettrale per operatori autoaggiunti compatti, esempi. Traccia.

Orario delle lezioni:

Martedì ore 14-16 e Venerdì ore 11-13, online su Microsoft Teams.

Orario di ricevimento:

Online su Microsoft Teams, per appuntamento.

Modalità di esame:

Consegna dei seguenti esercizi svolti e prova orale (telematica su Microsoft Teams per la sessione di Giugno-Luglio, in presenza a partire da settembre).

Esami:

Appello A: Lunedì 22 Giugno 2020, ore 10-13.
Appello B: Lunedì 30 Giugno 2020, ore 10-13.
Appello X: Mercoledì 2 Settembre 2020, ore 10-13.
Appello C: Martedì 19 Febbraio 2021, ore 10-13.

Testi consigliati:

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986)
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010)
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991)