Corso AC310 (Analisi complessa) - a.a. 2019/2020

DIARIO delle LEZIONI e delle ESERCITAZIONI

• 1 (25/02/20).  Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
• 2 (26/02/20). Funzioni complesse a variabile complessa.  Continuità: proprietà e esempi. Differenziabilità: definizione e prime proprietà. Funzione olomorfe: proprietà e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe. Caratterizzazione di differenziabilità attraverso le equazioni di Cauchy-Riemann.
• 3 (28/02/20). Esercitazione 1: Numeri complessi: aritmetica, forma polare, potenze e radici. Funzioni olomorfe e le equazioni di Cauchy-Riemann: esempi. 
• 4 (03/03/20). Funzione olomorfe sono conformi. L'algebra delle serie di potenze formali con coefficienti in C.  Definizione,  aritmetica e proprietà.  Inverse molteplicative e composizione di serie di potenze formali.
• 5 (04/03/20). Ultime considerazioni sul dominio delle serie formali: invertibilità per prodotto e composizione e introduzione del campo delle serie formali di Laurent come il suo campo dei quozienti. Sucessione e serie complesse convergenti. Sucessioni e serie di funzioni complesse convergenti: convergenza assoluta e uniforme e sucessioni di funzioni di Cauchy.
• 6. (12/03/20). Lezione online: sucessioni di funzioni complesse convergenti. Serie di potenze complesse e raggio di convergenza. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/HWEVJDW
• 7. (16/03/20). Lezione online: la formula di Hadamard per il raggio di convergenza di una serie di potenze. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/BBCPVDP
• 8. (17/03/20). Lezione online: Relazione tra serie formali e serie convergenti. Unicità di sviluppo in serie di potenze. Esempi: funzioni espeonenziali, logaritmo e binomiale.
  Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/NYZLRVN
• 9. (20/03/20). Lezione online: funzioni analitiche, definizione e prime proprietà. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/XKNCQJU
• 10. (23/03/20). Lezione online: differenziabilità di funzione analitiche, primitive locali di funzioni analitiche e la funzione logaritmo. https://drive.explaineverything.com/thecode/TRCCSMK
• 11. (31/03/20). Lezione online: proprietà geometriche locali delle funzioni analitiche. Il teorema della funzione inversa. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/PTCEUMM
  
• Chiarimento Teorema Funzione Inversa.
  
• 12. (01/04/20). Lezione online: Il teorema della funzione aperta e il principio del massimo modulo locale. Una dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra usando il teorema del massimo modulo locale. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/RMCAWAG
• 13. (08/04/20). Lezione online. Funzioni olomorfe e analitiche in aperti connessi. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/XKEYYLB
• 14. (10/04/20). Lezione online. Integrali lungo cammini e il teorema di esistenza di una primitiva per una funzione analitica. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/AMPWVCC
• 15. (17/04/20). Lezione online. Il teorema di Goursat e esistenza di una primitiva locale per una funzione olomorfa. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/CUTRDQH
• 16. (19/04/20). Lezione online. Integrazione di funzioni olomorfe lungo cammini continui. La forma omotopica del teorema di Cauchy. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/KPPDRNV
• 17. (25/04/20). Lezione online. Primitiva globale di una funzione olomorfa e un'aperto semplicemente connesso e definizione del logaritmo in aperti semplicemente connessi che non contengono l'origine. https://drive.explaineverything.com/thecode/ZTVVQWK
• 18. (29/04/20). Lezione online. Formula integrale (o locale di Cauchy) e le sue conseguenze. Formula di Cauchy per lo sviluppo in serie. Una funzione olomorfa è analitica. Teorema di Liouville e di Morera. Il Teorema Fondamentale dell'Algebra come conseguenza del teorema di Liouville. https://drive.explaineverything.com/thecode/DDUPAMA
• 19. (05/05/20). Lezione online. Formula globale di Cauchy e la nozione di curva omologa a zero. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/HLWKRSC
• 20. (06/05/20). Lezione online. Il teorema di Cauchy e sue conseguenze. Definizione del primo gruppo di omologia. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/XMGTUVQ
• 21. (08/05/20). Riunione online su teams: discussione delle modalità di esame e riassunto del corso fino alla lezione 20. Serie di Laurent: proprietà e esempi. Funzioni olomorfe in corone circolari e il loro sviluppo in serie di Laurent.
  
• 22. (12/05/20). Lezione online. Serie di Laurent: proprietà e esempi. Funzioni olomorfe in corone circolari e il loro sviluppo in serie di Laurent. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/JQXUXRV
• 23. (17/05/20). Lezione online. Classificazione delle singolarità isolate e la nozione di funzione meromorfa. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/LKWBPDH
• 24. (21/05/20). Lezione online. Teorema dei Residui. Esempi. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/TGHDXVB
• 25. (22/05/20). Lezione online. Il principio dell'argomento e il Teorema di Rouché e applicazioni. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/ZTQZWBS
• 26. (29/05/20). Lezione online. Calculo di integrali indefiniti usando il Teorema dei Residui. La sfera di Riemann come estenzione del piano complesso e studio delle funzioni meroforme sulla sfera. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/ARRFWPR
  
• 27. (31/05/20). Lezione online. Classificazione degli aperti connessi di C a meno di biolomorfismi. Trasformazioni lineare fratte nella sfera di Riemann e in C: definizioni e proprietà. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/FDWWWGC
• 28. (01/06/20). Lezione online. Classificazione degli automorfismi di C e del disco unitario usando l'azione di PGL2(C) sulla sfera di Riemann. Link: https://drive.explaineverything.com/thecode/FRXAMWW
  
• Errata